Exercício 2.5. Use derivação ou integração para encontrar uma representação em série de potências para a função f em cada caso, considerando x \in(-1,1).
f(x)=\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências de
f(x)=\frac{x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}
para x\in(-1,1). O conteúdo usado será a expansão em série de potências (binomial generalizado) de (1+u)^{-2}.

Passo 2

Lembramos que, para |u|<1, vale a série binomial
(1+u)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)\,u^{n}.

Passo 3

Fazendo u=x^{2} (aqui ainda |x|<1), obtemos
\frac{1}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)\,x^{2n}.

Passo 4

Multiplicamos a expressão acima por x para recuperar f(x):
f(x)=x\cdot\frac{1}{(1+x^{2})^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)\,x^{2n+1}.

Resposta

\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)\,x^{2n+1},\quad |x|<1.}

Exercícios relacionados