Exercício 1. Escreva com suas próprias palavras:
(a) O que é uma série de potências?
(b) O que é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
(c) O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
Passo 1
O enunciado pede para, com minhas próprias palavras, explicar três conceitos fundamentais sobre séries de potências: (a) definição de uma série de potências, (b) raio de convergência e como encontrá-lo, e (c) intervalo de convergência e como determiná-lo. Para isso, vamos usar noções de soma infinita, testes de convergência (razão ou raiz) e análise de extremos do intervalo.
Passo 2
(a) Uma série de potências é uma soma infinita em que cada termo é um coeficiente multiplicado por uma potência de (x-a), ou seja, tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\,(x - a)^{n},
onde a é o centro da série e \{c_{n}\} é uma sequência de números reais (ou complexos). É uma generalização de polinômios para infinitos termos, permitindo representar muitas funções analíticas perto de x=a.
Passo 3
(b) O raio de convergência é o valor R\ge0 tal que a série converge para todo x com \lvert x - a\rvert < R e diverge se \lvert x - a\rvert > R. Para encontrá-lo, aplicamos, por exemplo, o teste da razão:
R = \lim_{n\to\infty} \biggl|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\biggr|
(se esse limite existir e for finito). Alternativamente, o teste da raiz dá
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert c_{n}\rvert}}.
Passo 4
(c) O intervalo de convergência é o conjunto de x reais para os quais a série converge. Em geral, é o intervalo
(a - R,\,a + R)
no qual a convergência é garantida. Para os pontos de extremidade x = a \pm R, precisamos testar a série original substituindo x = a+R e x = a-R e verificar a convergência caso a caso (por comparação, alternância, etc.). Assim, os extremos podem entrar ou não no intervalo final.
Resposta
(a) Uma série de potências é uma soma infinita da forma
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\,(x - a)^{n},
com coeficientes c_{n} e centro a.
(b) O raio de convergência R é a distância a partir de a em que a série converge (\lvert x-a\rvert< R) e diverge (\lvert x-a\rvert> R). Encontramos R pelo teste da razão
R = \lim_{n\to\infty}\Bigl|\tfrac{c_{n}}{c_{n+1}}\Bigr|
ou pelo teste da raiz
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert c_{n}\rvert}}.
(c) O intervalo de convergência é o conjunto de x reais tal que a série converge, normalmente (a-R,\,a+R). Nos pontos x = a\pm R, verifica-se separadamente se a série converge ou diverge para decidir se incluímos cada extremidade.