Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x-2 y \\\ \dot{y}=2 x+y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de coeficientes constantes
\begin{cases} \dot{x}=x-2y,\\\ \dot{y}=2x+y. \end{cases}
Este é um sistema de EDOs lineares de primeira ordem. Vamos representá-lo na forma vetorial \dot{\mathbf{u}}=A\mathbf{u} e usar o método de autovalores e autovetores para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial:
\dot{\mathbf{u}}=\begin{pmatrix}1 & -2\\[6pt]2 & 1\end{pmatrix}\mathbf{u},
onde \mathbf{u}=(x,y)^\top. Para achar os autovalores de A, resolvemos
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[3pt]2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2+4=0.
Isso dá
\lambda^2-2\lambda+5=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=1\pm 2i.
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Passo 3

Escolhemos \lambda=1+2i e achamos um autovetor \mathbf{v} tal que (A-(1+2i)I)\mathbf{v}=0.
\begin{pmatrix}-2i & -2\\[3pt]2 & -2i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =\mathbf{0} \;\Longrightarrow\; -2i\,v_1-2\,v_2=0 \;\Longrightarrow\; v_2=-i\,v_1.
Tomando v_1=1, um autovetor é
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix}.
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Passo 4

Uma solução complexa é
\mathbf{u}_c(t) =e^{(1+2i)t}\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix} =e^t\begin{pmatrix}e^{2i t}\\\ -i\,e^{2i t}\end{pmatrix}.
Separando em parte real e imaginária, obtemos duas soluções reais fundamentais:
\mathbf{u}_1(t) =e^t\begin{pmatrix}\cos2t\\sin2t\end{pmatrix}, \quad \mathbf{u}_2(t) =e^t\begin{pmatrix}\sin2t\\\ -\,\cos2t\end{pmatrix}.

Passo 5

Como estas duas são linearmente independentes, a solução geral é combinação linear delas:
\begin{pmatrix}x(t)\\[3pt]y(t)\end{pmatrix} =C_1\,e^t\begin{pmatrix}\cos2t\\sin2t\end{pmatrix} + C_2\,e^t\begin{pmatrix}\sin2t\\\ -\,\cos2t\end{pmatrix},
once C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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Resposta

\boxed{ x(t)=e^t\bigl(C_1\cos2t + C_2\sin2t\bigr),\quad y(t)=e^t\bigl(C_1\sin2t - C_2\cos2t\bigr). }

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