Da rodoviária de uma cidade partem três linhas de ônibus. Os horários de cada linha são apresentados na tabela abaixo.
Linha 1 O horário Saidas a cada
1 6 h 12 min
2 6 h 30 min 15 min
3 7 h 10 min
Observando-se as informações da tabela, é correto concluir que os ônibus das três linhas partirão juntos do terminal às
A) 7 h 30 min .
B) 8 h .
C) 9 h 36 min
D) 10 h

Passo 1

O enunciado dá três linhas de ônibus com horários de partida e frequências:
– Linha 1 sai às 6 h e depois a cada 12 min.
– Linha 2 sai às 6 h 30 min e depois a cada 15 min.
– Linha 3 sai às 7 h e depois a cada 10 min.
Queremos descobrir quando todas partem juntas novamente. Para isso, vamos medir os instantes em minutos contados a partir de 6 h.

Passo 2

Em minutos após as 6 h, as partidas de cada linha ocorrem em:
T_1(k) = 12k,\quad T_2(m) = 30 + 15m,\quad T_3(n) = 60 + 10n,
onde k,m,n são números inteiros não negativos.

Passo 3

Para que partam juntas num mesmo instante T, precisamos
T_1(k)=T_2(m)=T_3(n)=T.
Isto implica as congruências
T \equiv 0 \pmod{12},\quad T \equiv 30 \pmod{15},\quad T \equiv 60 \pmod{10}.

Passo 4

Observando que 30 é múltiplo de 15 e 60 é múltiplo de 10, as duas últimas congruências viram
T \equiv 0 \pmod{15},\qquad T \equiv 0 \pmod{10}.
Logo T é múltiplo comum de 12, 15 e 10. O mínimo múltiplo comum é
\mathrm{lcm}(12,15,10)=60.
Portanto todas as linhas partem juntas a cada 60 minutos contados de 6 h.

Passo 5

Os instantes positivos são T=60,120,180,\dots minutos após 6 h.
T=60 min \to 6 h +60 min =7 h (primeira co-partida).
T=120 min \to 6 h +120 min =8 h (próxima).
Como a opção mais próxima após 7 h é 8 h, esta é a resposta.

Resposta

B) 8 h.

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