Exercício: Encontre uma sel. particular das EDO’s:
y^{\prime \prime \prime}-y y^{\prime}=x+3 \cos x+e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da EDO não-linear de terceira ordem
y''' - y\,y' = x + 3\cos x + e^{-3x}.
Para resolver, vamos buscar uma primeira integral, reconhecendo que o lado esquerdo é derivada de uma combinação simples de y'' e y.

Passo 2

Note que
\frac{d}{dx}\Bigl(y'' - \tfrac12\,y^2\Bigr) = y''' - y\,y'.
Isso mostra que podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dx}\Bigl(y'' - \tfrac12\,y^2\Bigr) = x + 3\cos x + e^{-3x}.

Passo 3

Integramos em x:
y'' - \tfrac12\,y^2 = \int\bigl(x + 3\cos x + e^{-3x}\bigr)\,dx + C = \tfrac{x^2}{2} + 3\sin x - \tfrac{1}{3}e^{-3x} + C.

Resposta

Escolhendo C=0 obtemos uma solução particular implícita da EDO original:
y'' - \tfrac12\,y^2 = \tfrac{x^2}{2} + 3\sin x - \tfrac{1}{3}e^{-3x}.

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