Exercício 1. Encontre a série de Fourier das funções definidas através das expressões abaixo:
f(t)=t para t \in(0,2), f(0)=1, e satisfazendo f(t+2)=f(t) para todo t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período 2 definida por f(t)=t para t\in(0,2), com f(0)=1, e tal que f(t+2)=f(t) para todo t\in\mathbb{R}. A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função (ou seja, a expansão em soma de senos e cossenos que representa a função periódica de período 2). Informações importantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Função em um período: } f(t)=t,\quad t\in(0,2),\qquad f(0)=1,\\\ &\text{Período: } T=2. \end{aligned}çãíí

Passo 2

Vamos usar a forma clássica da série de Fourier para funções de período T, escrita como
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos\bigl(\tfrac{2\pi n}{T}t\bigr)+b_n\sin\bigl(\tfrac{2\pi n}{T}t\bigr)\bigr).
As fórmulas para os coeficientes são
a_0=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,dt,\qquad a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos\bigl(\tfrac{2\pi n}{T}t\bigr)\,dt,\qquad b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin\bigl(\tfrac{2\pi n}{T}t\bigr)\,dt.
Aqui T=2, portanto \tfrac{2\pi n}{T}=\pi n e o fator \tfrac{2}{T} vale 1. Assim as fórmulas se simplificam para
a_0=\int_{0}^{2}f(t)\,dt,\qquad a_n=\int_{0}^{2}f(t)\cos(n\pi t)\,dt,\qquad b_n=\int_{0}^{2}f(t)\sin(n\pi t)\,dt.
Explicando: n é um inteiro positivo que indexa as harmônicas; \cos(n\pi t) e \sin(n\pi t) são as funções base ortogonais no intervalo [0,2]. Vamos calcular a_0,a_n,b_n substituindo f(t)=t na integração sobre [0,2]. Observação: o valor de f em um único ponto (por exemplo t=0) não altera os integrais nem os coeficientes.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0=\int_{0}^{2} t\,dt=\left[\tfrac{t^2}{2}\right]_{0}^{2}=\tfrac{2^2}{2}-0=2.
Portanto o termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=1.

Passo 4

Cálculo de a_n. Precisamos calcular
a_n=\int_{0}^{2} t\cos(n\pi t)\,dt.
Usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Tomamos u=t e dv=\cos(n\pi t)\,dt. Então du=dt e
v=\int \cos(n\pi t)\,dt=\tfrac{1}{n\pi}\sin(n\pi t).
Aplicando:
\begin{aligned} a_n &= \left. t\cdot\tfrac{1}{n\pi}\sin(n\pi t)\right|_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \tfrac{1}{n\pi}\sin(n\pi t)\,dt\\[4pt] &=\tfrac{1}{n\pi}\bigl(2\sin(2n\pi)-0\bigr) - \tfrac{1}{n\pi}\int_{0}^{2}\sin(n\pi t)\,dt. \end{aligned}
Note que \sin(2n\pi)=0 para todo inteiro n, então o primeiro termo é zero. Para o segundo integral,
\int_{0}^{2}\sin(n\pi t)\,dt = \left[-\tfrac{1}{n\pi}\cos(n\pi t)\right]_{0}^{2} = -\tfrac{1}{n\pi}\bigl(\cos(2n\pi)-\cos(0)\bigr)= -\tfrac{1}{n\pi}(1-1)=0.
Logo a_n=0 para todo n\ge1. Interpretação rápida: não há termos em cosseno na expansão.]

Passo 5

Cálculo de b_n. Precisamos de
b_n=\int_{0}^{2} t\sin(n\pi t)\,dt.
Novamente integração por partes: tome u=t, dv=\sin(n\pi t)\,dt. Então du=dt e
v=\int \sin(n\pi t)\,dt = -\tfrac{1}{n\pi}\cos(n\pi t).
Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} b_n &= \left. -t\cdot\tfrac{1}{n\pi}\cos(n\pi t)\right|_{0}^{2} + \int_{0}^{2}\tfrac{1}{n\pi}\cos(n\pi t)\,dt\\[4pt] &= -\tfrac{2}{n\pi}\cos(2n\pi) + 0 + \tfrac{1}{n\pi}\int_{0}^{2}\cos(n\pi t)\,dt. \end{aligned}
Avalie \cos(2n\pi)=1. O último integral é
\int_{0}^{2}\cos(n\pi t)\,dt = \left.\tfrac{1}{n\pi}\sin(n\pi t)\right|_{0}^{2} = \tfrac{1}{n\pi}\bigl(\sin(2n\pi)-\sin(0)\bigr)=0.
Portanto sobra
b_n = -\tfrac{2}{n\pi}.
Assim, para todo n\ge1 temos b_n=-\dfrac{2}{n\pi}.]

Passo 6

Juntando os coeficientes na forma da série de Fourier:
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi t)+b_n\sin(n\pi t)\bigr).
Substituindo a_0=2, a_n=0 e b_n=-\dfrac{2}{n\pi}, obtemos
\boxed{\,f(t)=1-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(n\pi t)\,.}
Comentário sobre convergência: a série converge para f(t) em todos os pontos onde f é contínua (ou para a média dos limites esquerda e direita nos pontos de descontinuidade). No problema, por exemplo, em t=0 as duas vizinhanças dão limites f(0^-)=2 e f(0^+)=0, a média é 1; a série em t=0 toma exatamente esse valor 1, que coincide com o valor dado f(0)=1.

Resposta

f(t)=1-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin(n\pi t).

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