Exercício 1. Encontre a série de Fourier das funções definidas através das expressões abaixo: f(t)=t para t \in(0,2), f(0)=1, e satisfazendo f(t+2)=f(t) para todo t \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado dá a função periódica de período 2 definida por f(t)=t para t\in(0,2), com f(0)=1, e tal que f(t+2)=f(t) para todo t\in\mathbb{R}. A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função (ou seja, a expansão em soma de senos e cossenos que representa a função periódica de período 2). Informações importantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Função em um período: } f(t)=t,\quad t\in(0,2),\qquad f(0)=1,\\\ &\text{Período: } T=2. \end{aligned}
Passo 2
Vamos usar a forma clássica da série de Fourier para funções de período T, escrita como
Explicando: n é um inteiro positivo que indexa as harmônicas; \cos(n\pi t) e \sin(n\pi t) são as funções base ortogonais no intervalo [0,2]. Vamos calcular a_0,a_n,b_n substituindo f(t)=t na integração sobre [0,2]. Observação: o valor de f em um único ponto (por exemplo t=0) não altera os integrais nem os coeficientes.
Comentário sobre convergência: a série converge para f(t) em todos os pontos onde f é contínua (ou para a média dos limites esquerda e direita nos pontos de descontinuidade). No problema, por exemplo, em t=0 as duas vizinhanças dão limites f(0^-)=2 e f(0^+)=0, a média é 1; a série em t=0 toma exatamente esse valor 1, que coincide com o valor dado f(0)=1.