Exercício 1: Encontre a série de Fourier das funções periódicas dadas. Analise a paridade para simplificar os cálculos quando possível.
f(x)=\cos (x) de [-\pi, 0] \mathrm{e} f(x)=\sin (x) de [0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função \[f(x)= \begin{cases} \cos x, & -\pi\le x<0,\\\ \sin x, & 0\le x\le\pi. \end{cases}
O conteúdo aqui é a expansão em série de Fourier geral (não apenas par ou ímpar), pois f\] não é nem par nem ímpar. Para isso precisamos calcular \[a_0,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx,\] dividindo cada integral no intervalo \([-\pi,0] e [0,\pi].

Passo 2

Calcular a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\int_{-\pi}^{0}\cos x\,dx+\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx\Bigr].
Em cada pedaço:
\int_{-\pi}^{0}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{-\pi}^{0}=0-0=0, \quad \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_{0}^{\pi}=-(-1-1)=2.
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot 2=\frac{2}{\pi}.

Passo 3

Calcular a_n para n\ge1:
a_n=\frac{1}{\pi}\Bigl[\int_{-\pi}^{0}\cos x\cos(nx)\,dx +\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx\Bigr].
Usando identidades de produto a soma, verifica-se que a primeira integral é zero e a segunda dá
\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx =-\frac{(-1)^n+1}{\,n^2-1\,}.
Portanto
a_n=-\frac{(-1)^n+1}{\pi\,(n^2-1)}.
Em particular, quando n é ímpar tem (-1)^n+1=0 logo a_n=0, e quando n=2m par
a_{2m}=-\frac{2}{\pi\,(4m^2-1)}.

Passo 4

Calcular b_n para n\ge1:
b_n=\frac{1}{\pi}\Bigl[\int_{-\pi}^{0}\cos x\sin(nx)\,dx +\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(nx)\,dx\Bigr].
A primeira parte, por produto a soma, dá
\int_{-\pi}^{0}\cos x\sin(nx)\,dx =-\frac{(-1)^n+1}{2}\,\frac{2n}{\,n^2-1\,},
e a segunda parte é zero para n\ge2, mas para n=1 \int_{0}^{\pi}\sin^2x\,dx=\pi/2. Logo
b_n=-\frac{(-1)^n+1}{\pi}\,\frac{n}{\,n^2-1\,}\quad(n\ge2),
o que anula b_n para n ímpar e, para n=2m,
b_{2m}=-\frac{4m}{\pi\,(4m^2-1)}.
Além disso o caso n=1 dá diretamente
\displaystyle b_1=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin^2x\,dx=\frac12.

Passo 5

Reunindo tudo na forma
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr],
temos
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{\pi}, \quad a_{2m}= -\frac{2}{\pi(4m^2-1)}, \quad a_{2m-1}=0,
b_1=\tfrac12, \quad b_{2m}=-\frac{4m}{\pi(4m^2-1)}, \quad b_{2m-1}=0\\ (m\ge2).

Resposta

\boxed{% f(x)=\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}\sin x +\sum_{m=1}^{\infty}\biggl[ -\frac{2}{\pi(4m^2-1)}\cos(2m x) -\frac{4m}{\pi(4m^2-1)}\sin(2m x) \biggr].}

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