Exercício 1: Encontre a série de Fourier das funções periódicas dadas. Analise a paridade para simplificar os cálculos quando possível.
f(x)=e^{x}, em [-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período 2\pi dada por
f(x)=e^{x},\quad x\in[-\pi,\pi].
O conteúdo aqui é “séries de Fourier em [-\pi,\pi]”. Para resolver, vamos calcular os coeficientes
\displaystyle a_{0},a_{n},b_{n} pelas fórmulas usuais:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx, \quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Verificamos a paridade de f(x)=e^x: ela não é função par nem ímpar em [-\pi,\pi].
Portanto, não há cancelamento imediato em a_{n} ou b_{n}; precisamos calcular todas as integrais.

Passo 3

Calcular a_{0}:
a_{0} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[e^{x}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} =\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi}.

Passo 4

Calcular a_{n} para n\ge1. Usamos a integral
\int e^{x}\cos(nx)\,dx =\frac{e^{x}\bigl(\cos(nx)+n\sin(nx)\bigr)}{1+n^{2}}.
Logo
a_{n} =\frac{1}{\pi}\left[ \frac{e^{x}\bigl(\cos(nx)+n\sin(nx)\bigr)}{1+n^{2}} \right]_{-\pi}^{\pi} =\frac{1}{\pi}\,\frac{(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{1+n^{2}}.

Passo 5

Calcular b_{n} para n\ge1. Usamos a integral
\int e^{x}\sin(nx)\,dx =\frac{e^{x}\bigl(\sin(nx)-n\cos(nx)\bigr)}{1+n^{2}}.
Então
b_{n} =\frac{1}{\pi}\left[ \frac{e^{x}\bigl(\sin(nx)-n\cos(nx)\bigr)}{1+n^{2}} \right]_{-\pi}^{\pi} =-\frac{n(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi(1+n^{2})}.

Passo 6

Montamos a série de Fourier na forma clássica
f(x)\sim\frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr].
Substituindo os coeficientes:
e^{x} = \frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi} +\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi(1+n^{2})}\cos(nx) -\frac{n(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi(1+n^{2})}\sin(nx) \right].

Resposta

e^{x} = \frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi} +\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi\,(1+n^{2})}\cos(nx) -\frac{n\,(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi\,(1+n^{2})}\sin(nx) \Biggr].

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