Exercício 1: Encontre a série de Fourier das funções periódicas dadas. Analise a paridade para simplificar os cálculos quando possível.
f(x)=0 de [-\pi, 0] e f(x)=x^{2} de [0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função \[f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi \le x<0,\\\ x^2, & 0\le x\le\pi. \end{cases}
O conteúdo é “série de Fourier em [-\pi,\pi]\]”. Vamos usar a definição das coeficientes e, como \(f(x) não é par nem ímpar, manteremos ambos a_n e b_n.

Passo 2

A série de Fourier geral em [-\pi,\pi] é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr],
com
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Como f(x)=0 em [-\pi,0], temos
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx, \quad \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Calculamos a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\,dx =\frac{1}{\pi}\,\frac{\pi^3}{3} =\frac{\pi^2}{3}.

Passo 4

Calculamos
\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx.
Aplicando integração por partes duas vezes, chega-se ao resultado
\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx =\frac{2\pi(-1)^n}{n^2}.
Logo
a_n=\frac{1}{\pi}\,\frac{2\pi(-1)^n}{n^2} =\frac{2(-1)^n}{n^2}.

Passo 5

Calculamos
\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx.
Usando integração por partes duas vezes, obtém-se
\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx =\frac{(-1)^{n+1}\,\pi^2}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3}.
Portanto
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl[\frac{(-1)^{n+1}\pi^2}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3}\Bigr] =\frac{(-1)^{n+1}\,\pi}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}.

Passo 6

Reunindo tudo, a série de Fourier é
f(x)=\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nx) +\Bigl(\frac{(-1)^{n+1}\,\pi}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}\Bigr)\sin(nx)\Bigr].

Resposta

f(x)=\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nx) +\Bigl(\frac{(-1)^{n+1}\,\pi}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}\Bigr)\sin(nx)\Bigr].

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