Exercício 1: Encontre a série de Fourier das funções periódicas dadas. Analise a paridade para simplificar os cálculos quando possível.
f(x)=x+|x| em [-2 \pi, 2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período T=4\pi
f(x)=x+|x|\quad\text{em }[-2\pi,2\pi].
O conteúdo que vamos usar inclui:
\bullet definição de série de Fourier em [-L,L] com L=2\pi,
\bullet cálculo dos coeficientes a_0,a_n,b_n por integrais,
\bullet técnica de integração por partes e análise de simetria para simplificar integrais.

Passo 2

Primeiro expressemos f(x) de modo piecewise, pois |x| muda de forma em x=0. Temos
f(x)= \begin{cases} 0, & -2\pi \le x<0,\\\\ 2x, & 0\le x\le 2\pi. \end{cases}

Passo 3

Observando f(-x)\neq \pm f(x), concluímos que f não é par nem ímpar. Logo teremos tanto cossenos quanto senos na série.

Passo 4

O termo médio a_0 é
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx =\frac{1}{2\pi}\Bigl[\int_{-2\pi}^{0}0\,dx+\int_{0}^{2\pi}2x\,dx\Bigr] =\frac{1}{2\pi}\bigl[4\pi^2\bigr] =2\pi.
Na série, aparece como a_0/2=\pi.

Passo 5

Para os coeficientes a_n (cossenos), usamos
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}2x\cos\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)\,dx.
Fazendo integração por partes, chega-se a
a_n=-\frac{4}{n^2\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Assim,
a_n= \begin{cases} -\dfrac{8}{n^2\pi},& n\text{ ímpar},\\\\ 0,& n\text{ par}. \end{cases}í

Passo 6

Para os coeficientes b_n (senos), calculamos
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}2x\sin\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)\,dx.
Também por partes obtemos
b_n=\frac{4(-1)^{\,n+1}}{n}.

Passo 7

Reunindo tudo, a série de Fourier em [-2\pi,2\pi] com L=2\pi é
f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\cos\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)+b_n\sin\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)\Bigr],
onde
\frac{a_0}{2}=\pi, \quad a_n=\begin{cases} -\dfrac{8}{n^2\pi},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par}, \end{cases} \quad b_n=\frac{4(-1)^{\,n+1}}{n}.í]

Resposta

f(x) =\pi +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty}\Bigl(-\frac{8}{n^2\pi}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{n x}{2}\Bigr) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{\,n+1}}{n}\,\sin\Bigl(\frac{n x}{2}\Bigr).

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