Exercício 1: Encontre a série de Fourier das funções periódicas dadas. Analise a paridade para simplificar os cálculos quando possível.
f(x)=\sin ^{2}(x) em [-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f(x)=\sin^2(x) no intervalo [- \pi,\pi].
A forma geral da série de Fourier de uma função periódica de período 2\pi é
f(x) \sim \frac{a_{0}}{2} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx)\;+\;\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(nx),
onde
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Observe a paridade de f(x)=\sin^2(x). Como \sin^2(-x)=\sin^2(x), a função é par.
Isso implica que todos os coeficientes b_{n} (coeficientes de senos) são nulos:
b_{n}=0\qquad\forall\,n\ge1.
Logo sobra apenas a parte de cossenos e o termo constante.

Passo 3

Em vez de calcular integrais, use a identidade trigonométrica
\sin^{2}(x) =\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Essa expressão já está numa forma de série de Fourier truncada: soma de constante com cosseno de frequência 2.

Passo 4

Compare \sin^{2}(x)=\tfrac12-\tfrac12\cos(2x) com
\dfrac{a_{0}}{2}+a_{1}\cos(x)+a_{2}\cos(2x)+\cdots.
Dessa comparação segue que
\frac{a_{0}}{2}=\frac12,\quad a_{2}=-\frac12, \quad a_{n}=0\;\text{para }n\neq2, \quad b_{n}=0\;\text{para todo }n.

Resposta

\boxed{ \sin^{2}(x) =\frac12 -\frac12\cos(2x), \quad x\in[-\pi,\pi], }
que é a série de Fourier de \sin^2(x) nesse intervalo.

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