Exercício 1: Encontre a série de Fourier das funções periódicas dadas. Analise a paridade para simplificar os cálculos quando possível.
em
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de
no intervalo
.
A forma geral da série de Fourier de uma função periódica de período é
A forma geral da série de Fourier de uma função periódica de período
onde
Passo 2
Observe a paridade de
. Como
, a função é par.
Isso implica que todos os coeficientes (coeficientes de senos) são nulos:
Isso implica que todos os coeficientes
Logo sobra apenas a parte de cossenos e o termo constante.
Passo 3
Em vez de calcular integrais, use a identidade trigonométrica
Essa expressão já está numa forma de série de Fourier truncada: soma de constante com cosseno de frequência
.
Passo 4
Compare
com
.
Dessa comparação segue que
Dessa comparação segue que
Resposta
que é a série de Fourier de
nesse intervalo.