Exercício 1: Encontre a série de Fourier das funções periódicas dadas. Analise a paridade para simplificar os cálculos quando possível.
f(x)=\cos (|x|) em [-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi da função
f(x)=\cos\bigl(|x|\bigr)\quad\text{em }[-\pi,\pi].
Note que f é par, pois \cos(|{-x}|)=\cos(|x|). Logo na série só aparecem termos em cosseno:
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx),
com
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx,
e os coeficientes de seno são nulos.

Passo 2

Calcular a_{0}.
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\bigl(|x|\bigr)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\,dx =\frac{2}{\pi}\bigl[\sin(x)\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}(0-0)=0.

Passo 3

Calcular a_{n} para n\ge1. Use
\cos(x)\cos(nx) =\tfrac12\bigl[\cos((n-1)x)+\cos((n+1)x)\bigr].
Então
\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx =\tfrac12\int_{0}^{\pi}\cos((n-1)x)\,dx +\tfrac12\int_{0}^{\pi}\cos((n+1)x)\,dx.
Cada integral \int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx vale zero para inteiro k\neq0, e vale \pi se k=0. Portanto só contribui quando n-1=0, isto é n=1. Logo
\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx =\begin{cases} \frac{\pi}{2},&n=1,\\\\ 0,&n\neq1, \end{cases}
e
a_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx =\begin{cases} 1,&n=1,\\\\ 0,&n\neq1. \end{cases}

Passo 4

Pelo passo anterior, todos os a_{n} são zero, exceto a_{1}=1. E os b_{n}=0 por paridade.

Resposta

\cos\bigl(|x|\bigr) =\cos(x),
isto é, a série de Fourier reduz-se a
\cos\bigl(|x|\bigr) =\cos(x).

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