Exercício 1: Encontre a série de Fourier das funções periódicas dadas. Analise a paridade para simplificar os cálculos quando possível. f(x)=\cos (|x|) em [-\pi, \pi]. Passo 1O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi da função f(x)=\cos\bigl(|x|\bigr)\quad\text{em }[-\pi,\pi]. Note que f é par, pois \cos(|{-x}|)=\cos(|x|). Logo na série só aparecem termos em cosseno: f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx), com a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx, e os coeficientes de seno são nulos. Passo 2Calcular a_{0}. a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\bigl(|x|\bigr)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\,dx =\frac{2}{\pi}\bigl[\sin(x)\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}(0-0)=0. Passo 3Calcular a_{n} para n\ge1. Use \cos(x)\cos(nx) =\tfrac12\bigl[\cos((n-1)x)+\cos((n+1)x)\bigr]. Então \int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx =\tfrac12\int_{0}^{\pi}\cos((n-1)x)\,dx +\tfrac12\int_{0}^{\pi}\cos((n+1)x)\,dx. Cada integral \int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx vale zero para inteiro k\neq0, e vale \pi se k=0. Portanto só contribui quando n-1=0, isto é n=1. Logo \int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx =\begin{cases} \frac{\pi}{2},&n=1,\\\\ 0,&n\neq1, \end{cases} e a_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx =\begin{cases} 1,&n=1,\\\\ 0,&n\neq1. \end{cases} Passo 4Pelo passo anterior, todos os a_{n} são zero, exceto a_{1}=1. E os b_{n}=0 por paridade. Resposta \cos\bigl(|x|\bigr) =\cos(x), isto é, a série de Fourier reduz-se a \cos\bigl(|x|\bigr) =\cos(x). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosExercício 1: (2,0 pontos) Resolva os seguintes limites justificando cada passagem: \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1-x-x^{2}}{2 x^{2}-7}. Exercício 1: (2,0 pontos) Resolva os seguintes limites justificando cada passagem: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(-5+x)^{2}-25}{x}; Exercício 2: ( 1,0 pontos) Encontre a parábola com equação f(x)=a x^{2}+b x cuja a reta tangente no ponto ( 1,2 ) tem equação y=3 x-2. Exercício 3: ( 1,0 pontos) Calcule a aproximação linear da função f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}} no ponto (0, f(0)).