Exercício 3: ( 1,0 pontos) Calcule a aproximação linear da função f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}} no ponto (0, f(0)).

Passo 1

O enunciado pede a aproximação linear de
f(x) = \frac{e^{x}-1}{e^{x}}
no ponto (0,f(0)).
Para isso precisamos calcular f(0), a derivada f'(x) e avaliá-la em x=0. Em seguida montamos
L(x) = f(0) + f'(0)\,(x-0).

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x) e avaliamos em x=0:
f(x) = \frac{e^{x}-1}{e^{x}} = 1 - e^{-x},
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f(0) = 1 - e^{0^{-}} = 1 - 1 = 0.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(1 - e^{-x}\bigr) = e^{-x}.
Assim
f'(0) = e^{0} = 1.

Passo 4

Por fim, a aproximação linear em torno de x=0 é
L(x) = f(0) + f'(0)\,(x-0) = 0 + 1\cdot x = x.

Resposta

A aproximação linear de f(x) em (0,f(0)) é
L(x) = x.

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