Exercício 2: ( 1,0 pontos) Encontre a parábola com equação f(x)=a x^{2}+b x cuja a reta tangente no ponto ( 1,2 ) tem equação y=3 x-2.

Passo 1

O enunciado pede uma parábola da forma
f(x)=a\,x^{2}+b\,x
tal que, no ponto (1,2), sua reta tangente seja
y=3x-2.
Para isso vamos usar dois fatos:
  1. O ponto (1,2) pertence à parábola, logo f(1)=2.
  2. A derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente, e a forma geral da reta tangente em x=1 é
y = f'(1)\,(x-1) + f(1).

Passo 2

Impondo que (1,2) está na curva, temos
f(1)=a\cdot1^{2} + b\cdot1 = a + b = 2.

Passo 3

Calculando a derivada,
f'(x)=2a\,x + b,
logo em x=1
f'(1)=2a + b.
Como a reta tangente deve ter coeficiente angular 3, temos
2a + b = 3.

Passo 4

A reta tangente em x=1 é
y = f'(1)\,(x-1) + f(1) = 3\,(x-1) + 2 = 3x - 1.
Porém o enunciado diz que essa reta é y=3x-2. Há, portanto, uma inconsistência no termo independente.

Passo 5

Mesmo assim, resolvendo o sistema
\begin{cases} a + b = 2,\\\\ 2a + b = 3, \end{cases}
subtraindo a primeira da segunda, vem a=1 e, em seguida, b=1. A parábola seria
f(x)=x^{2}+x,
cuja reta tangente em (1,2) tem equação y=3x-1, não y=3x-2.

Resposta

Não existe parábola da forma f(x)=a x^{2}+b x que satisfaça simultaneamente f(1)=2 e tenha reta tangente y=3x-2 em (1,2).

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