Exercício 5. Resolva os PVIs abaixo:
ly^prime-cos (t) y=t e^t^2+sin (t) y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y' - cos(t),y = t,e^t^2 + sin(t), y(0)=2,
que é uma equação linear de primeira ordem no formato
y' + P(t),y = Q(t)
com P(t) = -cos(t) e Q(t) = t,e^t^2 + sin(t). Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t) = expl(integral P(t),dtr) = expl(integral -cos(t),dtr) = expl(-sin(t)r)
Multiplicando a EDO por mu(t) torna o lado esquerdo uma derivada exata:
mu(t),y' + mu(t),P(t),y = l(e^-sin(t),yr)'

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t) obtemos
l(e^-sin(t),yr)' = e^-sin(t)l(t,e^t^2 + sin(t)r)
Agora integramos ambos os lados de 0 a t:
e^-sin(t),y(t) = integral0^t e^-sin(s)l(s,e^s^2 + sin(s)r),ds + C

Passo 4

Isolando y(t), a solução geral fica
y(t) = e^sin(t)gl[ C + integral0^t l(s,e^s^2 + sin(s)r),e^-sin(s),ds gr]
Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=2. Como sin(0)=0 e a integral de 0 a 0 é zero, temos
2 = y(0) = e^sin(0)l[C + 0r] = C

Resposta

boxed y(t) = e^sin(t)gl[ 2 + integral0^t l(s,e^s^2 + sin(s)r),e^-sin(s),ds gr]

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