Exercício 2. Encontre a solução particular da equação da onda descrita no Exercício 1, se a condição inicial da corda é:
Passo 1
O problema é a equação da onda numa corda de comprimento
e condições iniciais
O método é separação de variáveis e expansão de (f(x)] em série de senos (Fourier-seno).
Passo 2
Pela separação de variáveis e pelo contorno de Dirichlet, a solução geral que satisfaz
é
Os coeficientes
vêm da projeção de
na base
:
Passo 3
Como
é dada por partes, dividimos a integral:
Usamos a primitiva
e nota-se que a segunda integral se reduz à primeira, com fator
.
Passo 4
O cálculo detalhado leva a
Logo
o que anula
para
par e, para
ímpar, dá
resultando em
Passo 5
Substituindo em
, a solução particular é