Exercício 2. Encontre a solução particular da equação da onda descrita no Exercício 1, se a condição inicial da corda é:
u(x, 0)=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x, & \text { se } 0<x<1 / 2 \\\\ 1-x, & \text { se } 1 / 2<x<1 \end{array} \quad u_{t}(x, 0)=0 .\right.

Passo 1

O problema é a equação da onda numa corda de comprimento L=1\) com extremidades fixas: \[u_{tt}=c^2\,u_{xx},\quad u(0,t)=u(1,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x)=\begin{cases} x,&0<x<\tfrac12,\\\\ 1-x,&\tfrac12<x<1, \end{cases} \quad u_t(x,0)=0.
O método é separação de variáveis e expansão de (f(x)] em série de senos (Fourier-seno).

Passo 2

Pela separação de variáveis e pelo contorno de Dirichlet, a solução geral que satisfaz u_t(x,0)=0 é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos\bigl(n\pi c\,t\bigr)\,\sin\bigl(n\pi x\bigr).
Os coeficientes A_n vêm da projeção de f(x) na base \{\sin(n\pi x)\}:
A_n=2\int_{0}^{1}f(x)\,\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 3

Como f(x) é dada por partes, dividimos a integral:
A_n=2\Bigl(\int_{0}^{1/2}x\sin(n\pi x)\,dx \;+\;\int_{1/2}^{1}(1-x)\sin(n\pi x)\,dx\Bigr).
Usamos a primitiva
\int x\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}+\frac{\sin(n\pi x)}{(n\pi)^2},
e nota-se que a segunda integral se reduz à primeira, com fator (-1)^{n+1}.

Passo 4

O cálculo detalhado leva a
A_n=2\Bigl(I_1+I_2\Bigr), \quad I_1=-\frac{\cos(n\pi/2)}{2\,n\pi}+\frac{\sin(n\pi/2)}{(n\pi)^2}, \quad I_2=(-1)^{n+1}\,I_1.
Logo
A_n=2\,I_1\bigl(1+(-1)^{n+1}\bigr),
o que anula A_n para n par e, para n=2m-1 ímpar, dá
\cos\bigl((2m-1)\tfrac\pi2\bigr)=0, \quad \sin\bigl((2m-1)\tfrac\pi2\bigr)=(-1)^{m-1},
resultando em
A_{2m-1} =4\,\frac{(-1)^{m-1}}{\bigl((2m-1)\pi\bigr)^2}, \quad A_{2m}=0.

Passo 5

Substituindo em u(x,t), a solução particular é
u(x,t) =\sum_{m=1}^{\infty} \;4\,\frac{(-1)^{m-1}}{\bigl((2m-1)\pi\bigr)^2} \;\cos\bigl((2m-1)\pi c\,t\bigr) \;\sin\bigl((2m-1)\pi x\bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{m=1}^{\infty} \;4\,\frac{(-1)^{m-1}}{\bigl((2m-1)\pi\bigr)^2} \;\cos\bigl((2m-1)\pi c\,t\bigr) \;\sin\bigl((2m-1)\pi x\bigr).

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