Exercício 1 Verifique que a função y_{p}(t)=\frac{t}{4} é solução da equação diferencial
y^{\prime \prime}+4 y=t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 4y = t
e a função candidata
y_p(t) = \frac{t}{4}.
A pergunta é: verificar se \,y_p(t)=\frac{t}{4}\, é uma solução da equação, ou seja, se ao substituir \,y=y_p(t)\, e suas derivadas na equação obtemos uma igualdade verdadeira para todo t.

Passo 2

O que significa “verificar uma solução”? Significa calcular as derivadas necessárias de \,y_p(t)\,, substituí-las na expressão do lado esquerdo da equação diferencial \,y''+4y\, e checar se o resultado coincide com o lado direito \,t. Se coincidir para todo t, então \,y_p(t)\, é solução.

Passo 3

Calcular a primeira derivada de \,y_p(t)=\frac{t}{4}\,. Aqui usamos a regra básica: a derivada de t em relação a t é 1, e constantes fatoram para fora da derivada. Assim,
y_p'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{d}{dt}(t)=\frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{4}.
Explicação didática: multiplicar por \frac{1}{4} é o mesmo que ter uma constante; derivada de constante vezes função é constante vezes derivada da função.

Passo 4

Calcular a segunda derivada de \,y_p(t)\,. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada. Como \,y_p'(t)=\frac{1}{4} é constante, sua derivada é zero:
y_p''(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{4}\right)=0.
Lembrete: derivada de uma constante é sempre zero.

Passo 5

Agora substituímos \,y_p''(t)\, e \,y_p(t)\, no lado esquerdo da equação \,y''+4y\,. Primeiro calculemos 4y_p(t):
4y_p(t)=4\cdot\frac{t}{4}=t.
Em seguida:
y_p''(t)+4y_p(t)=0 + t = t.

Passo 6

Comparando com o lado direito da equação original, que é \,t, vemos que a igualdade se confirma:
y_p''(t)+4y_p(t)=t\quad\text{para todo }t.
Portanto \,y_p(t)=\frac{t}{4}\, satisfaz a equação diferencial em todos os t, ou seja, é de fato uma solução.

Passo 7

Comentário didático rápido (útil para a prova): a equação dada é linear e não homogênea. A função que verificamos é uma solução particular (daí o subíndice p). A solução geral da equação seria a soma da solução geral da homogênea \,y''+4y=0 (que é C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)) com essa solução particular \,\frac{t}{4}.

Resposta

Sim: y_p(t)=\dfrac{t}{4} é solução, pois y_p''(t)+4y_p(t)=0+t=t.

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