Exercício 1 Verifique que a função
é solução da equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a função candidata
A pergunta é: verificar se
é uma solução da equação, ou seja, se ao substituir
e suas derivadas na equação obtemos uma igualdade verdadeira para todo
.
Passo 2
O que significa “verificar uma solução”? Significa calcular as derivadas necessárias de
, substituí-las na expressão do lado esquerdo da equação diferencial
e checar se o resultado coincide com o lado direito
. Se coincidir para todo
, então
é solução.
Passo 3
Calcular a primeira derivada de
. Aqui usamos a regra básica: a derivada de
em relação a
é
, e constantes fatoram para fora da derivada. Assim,
Explicação didática: multiplicar por
é o mesmo que ter uma constante; derivada de constante vezes função é constante vezes derivada da função.
Passo 4
Calcular a segunda derivada de
. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada. Como
é constante, sua derivada é zero:
Lembrete: derivada de uma constante é sempre zero.
Passo 5
Agora substituímos
e
no lado esquerdo da equação
. Primeiro calculemos
:
Em seguida:
Passo 6
Comparando com o lado direito da equação original, que é
, vemos que a igualdade se confirma:
Portanto
satisfaz a equação diferencial em todos os
, ou seja, é de fato uma solução.
Passo 7
Comentário didático rápido (útil para a prova): a equação dada é linear e não homogênea. A função que verificamos é uma solução particular (daí o subíndice
). A solução geral da equação seria a soma da solução geral da homogênea
(que é
) com essa solução particular
.
Resposta
Sim:
é solução, pois
.