Exercício 7. Encontre a solução termos de x, y e z para que os vetores V=(lx 2 y) e W=(c-5 z 5) sejam ortogonais entre si e satisfaçam |V|=raiz6 e |W|=5 raiz3.

Passo 1

O enunciado pede os valores de tais que
  1. Os vetores
sejam ortogonais,
2. ,
3. .
Para isso vamos usar as definições de produto interno e norma de vetores em .

Passo 2

Escrevendo as equações:
  • Ortogonalidade Vperp W implica
Vcdot W = -5x + 2z + 5y = 0
  • Norma de V:
|V|^2 = x^2 + 2^2 + y^2 = 6 Longrightarrow x^2 + y^2 = 2
  • Norma de W:
|W|^2 = (-5)^2 + z^2 + 5^2 = 75 Longrightarrow 25 + z^2 + 25 = 75 Longrightarrow z^2 = 25

Passo 3

Da norma de W temos
z^2 = 25 Longrightarrow z = pm 5

Passo 4

Da ortogonalidade -5x + 2z + 5y = 0 isolamos a relação entre x e y:
-5x + 5y + 2z = 0 Longrightarrow 5(y - x) = -2z Longrightarrow y - x = -2z5

Passo 5

Temos duas escolhas para z:
  • Se z = 5, então
y - x = -2cdot 55 = -2 e x^2 + y^2 = 2
Substituindo y = x - 2 em x^2 + (x-2)^2 = 2
2x^2 -4x +4 = 2 Longrightarrow 2x^2 -4x +2 = 0 Longrightarrow (x-1)^2 = 0 Longrightarrow x = 1,
logo y = 1-2 = -1.
  • Se z = -5, então
y - x = -2cdot(-5)5 = 2 e x^2 + y^2 = 2
Substituindo y = x + 2 em x^2 + (x+2)^2 = 2
2x^2 +4x +4 = 2 Longrightarrow 2x^2 +4x +2 = 0 Longrightarrow (x+1)^2 = 0 Longrightarrow x = -1,
logo y = -1+2 = 1.

Resposta

As soluções são
(x,y,z) = (1,,-1,,5) ou (x,y,z) = (-1,,1,,-5)

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