Exercício 4 Resolva as EDO’s
(4+t^2) d yd t+2 t cdot y=4 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO (4+t^2),dydt + 2t,y = 4t. O assunto é equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dydt + P(t),y = Q(t). Dividindo tudo por 4+t^2 obtemos:
dydt + 2t4+t^2,y = 4t4+t^2 Aqui P(t)=2t4+t^2 e Q(t)=4t4+t^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t)=e^integral P(t),dt. Como
integral 2t4+t^2,dt = ln(4+t^2), temos
mu(t) = e^ln(4+t^2) = 4+t^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t). Isso transforma o lado esquerdo no derivado de mu(t)y:
(4+t^2),dydt + 2t,y = ddtl[(4+t^2),yr] A equação fica então
ddtl[(4+t^2)yr] = 4t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
(4+t^2)y = integral 4t,dt = 2t^2 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y(t) = 2t^2 + C4 + t^2 Essa é a solução geral da EDO.

Resposta

y(t) = \frac{2t^{2} + C}{4 + t^{2}}

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