Exercício 2. Encontre o valor da expressão
\operatorname{sec} \left(210^{\circ}\right)-\operatorname{tg}\left(315^{\circ}\right) \operatorname{cossec}\left(120^{\circ}\right) .

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão
\operatorname{sec}\left(210^{\circ}\right)-\operatorname{tg}\left(315^{\circ}\right)\operatorname{cossec}\left(120^{\circ}\right).
Informações dadas (explicitamente na expressão):
  • As funções trigonométricas envolvidas são \operatorname{sec} (secante), \operatorname{tg} (tangente) e \operatorname{cossec} (cosecante).
  • Os ângulos são 210^{\circ}, 315^{\circ} e 120^{\circ}.

Passo 2

Relembrando as definições essenciais (curta aula):
  • \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Aqui \cos x é o cosseno de x.
  • \operatorname{cossec} x=\csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Aqui \sin x é o seno de x.
  • \operatorname{tg} x=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
Sempre que avaliamos funções trigonométricas em ângulos notáveis, é útil:
  1. identificar o quadrante (I, II, III, IV) em que o ângulo está;
  2. achar o ângulo de referência (ângulo associado no primeiro quadrante);
  3. usar o sinal apropriado no quadrante para seno, cosseno e tangente.
Sinais por quadrante:
  • Quadrante I: \sin>0,\\ \cos>0,\\ \tan>0.
  • Quadrante II: \sin>0,\\ \cos<0,\\ \tan<0.
  • Quadrante III: \sin<0,\\ \cos<0,\\ \tan>0.
  • Quadrante IV: \sin<0,\\ \cos>0,\\ \tan<0.

Passo 3

Avaliar \operatorname{sec}\left(210^{\circ}\right).
  • O ângulo 210^{\circ} está em 180^{\circ}+30^{\circ}, ou seja, no terceiro quadrante.
  • O ângulo de referência é 30^{\circ}. Sabendo \cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e que em III quadrante o cosseno é negativo, temos
\cos\left(210^{\circ}\right)=-\cos 30^{\circ}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Então
\operatorname{sec}\left(210^{\circ}\right)=\dfrac{1}{\cos\left(210^{\circ}\right)}=\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • Para ficar num formato racionalizado (opcional),
\operatorname{sec}\left(210^{\circ}\right)=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 4

Avaliar \operatorname{tg}\left(315^{\circ}\right).
  • O ângulo 315^{\circ} é 360^{\circ}-45^{\circ}, ou seja, no quarto quadrante.
  • O ângulo de referência é 45^{\circ}. Sabendo \tan 45^{\circ}=1 e que em IV quadrante a tangente é negativa, obtemos
\operatorname{tg}\left(315^{\circ}\right)=\tan\left(315^{\circ}\right)=-\tan 45^{\circ}=-1.

Passo 5

Avaliar \operatorname{cossec}\left(120^{\circ}\right) (cosecante).
  • O ângulo 120^{\circ} é 180^{\circ}-60^{\circ}, ou seja, no segundo quadrante.
  • O ângulo de referência é 60^{\circ}. Sabendo \sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e que em II quadrante o seno é positivo, temos
\sin\left(120^{\circ}\right)=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Logo
\operatorname{cossec}\left(120^{\circ}\right)=\csc\left(120^{\circ}\right)=\dfrac{1}{\sin\left(120^{\circ}\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Calcular o produto \operatorname{tg}\left(315^{\circ}\right)\operatorname{cossec}\left(120^{\circ}\right) usando os resultados anteriores.
  • Substituindo:
\operatorname{tg}\left(315^{\circ}\right)\operatorname{cossec}\left(120^{\circ}\right)=\left(-1\right)\cdot\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 7

Comparar \operatorname{sec}\left(210^{\circ}\right) e o produto calculado e montar a expressão original.
  • Encontramos
\operatorname{sec}\left(210^{\circ}\right)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}, \qquad \operatorname{tg}\left(315^{\circ}\right)\operatorname{cossec}\left(120^{\circ}\right)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.
  • A expressão é a diferença entre esses dois termos; portanto trata-se da diferença entre um número e ele mesmo, o que implica que o resultado é zero.

Resposta

0

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