Exercício 2. Encontre o valor da expressão
Passo 1
O enunciado pede o valor da expressão
Informações dadas (explicitamente na expressão):
- As funções trigonométricas envolvidas são
(secante), (tangente) e (cosecante). - Os ângulos são
, e .
Passo 2
Relembrando as definições essenciais (curta aula):
-
. Aqui é o cosseno de . -
. Aqui é o seno de . -
.
Sempre que avaliamos funções trigonométricas em ângulos notáveis, é útil:
- identificar o quadrante (I, II, III, IV) em que o ângulo está;
- achar o ângulo de referência (ângulo associado no primeiro quadrante);
- usar o sinal apropriado no quadrante para seno, cosseno e tangente.
Sinais por quadrante:
- Quadrante I:
. - Quadrante II:
. - Quadrante III:
. - Quadrante IV:
.
Passo 3
Avaliar
.
- O ângulo
está em , ou seja, no terceiro quadrante. - O ângulo de referência é
. Sabendo e que em III quadrante o cosseno é negativo, temos
- Então
- Para ficar num formato racionalizado (opcional),
Passo 4
Avaliar
.
- O ângulo
é , ou seja, no quarto quadrante. - O ângulo de referência é
. Sabendo e que em IV quadrante a tangente é negativa, obtemos
Passo 5
Avaliar
(cosecante).
- O ângulo
é , ou seja, no segundo quadrante. - O ângulo de referência é
. Sabendo e que em II quadrante o seno é positivo, temos
- Logo
Passo 6
Calcular o produto
usando os resultados anteriores.
- Substituindo:
Passo 7
Comparar
e o produto calculado e montar a expressão original.
- Encontramos
- A expressão é a diferença entre esses dois termos; portanto trata-se da diferença entre um número e ele mesmo, o que implica que o resultado é zero.