Mostre que a equação é exata.
3 x^2 y+y^2 x+(x^3+x^2 y) d yd x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação dada é exata. Isso está relacionado a equações diferenciais de primeira ordem que podem ser escritas na forma M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 . Para resolver, vamos precisar identificar as funções M e N e verificar se a condição de exatidão é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma que destaque dx e dy . A equação é:
3x^2 y + y^2 x + (x^3 + x^2 y) dydx = 0
Podemos reorganizar para:
(3x^2 y + y^2 x) dx + (x^3 + x^2 y) dy = 0
Aqui, identificamos:
M(x, y) = 3x^2 y + y^2 x
N(x, y) = x^3 + x^2 y

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x , e ver se elas são iguais. A condição de exatidão é:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
Primeiro, a derivada parcial de M em relação a y :
partial Mpartial y = partialpartial y (3x^2 y + y^2 x) = 3x^2 + 2xy
Depois, a derivada parcial de N em relação a x :
partial Npartial x = partialpartial x (x^3 + x^2 y) = 3x^2 + 2xy

Passo 5

Comparamos as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = 3x^2 + 2xy
partial Npartial x = 3x^2 + 2xy
Como elas são iguais, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto, a equação é exata.

Resposta

A equação é exata porque as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x são iguais, isto é, partial Mpartial y = partial Npartial x = 3x^2 + 2xy .

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