Mostre que a equação é exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação dada é exata. Isso está relacionado a equações diferenciais de primeira ordem que podem ser escritas na forma
. Para resolver, vamos precisar identificar as funções
e
e verificar se a condição de exatidão é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma que destaque
e
. A equação é:
Podemos reorganizar para:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e ver se elas são iguais. A condição de exatidão é:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Depois, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Comparamos as duas derivadas parciais:
Como elas são iguais, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto, a equação é exata.
Resposta
A equação é exata porque as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais, isto é,
.