Exercício 3. Encontre o volume dos sólidos especificados abaixo:
A base de S é delimitada pela parábola y=1-x^2 e o eixo x. As seções transversais perpendiculares ao eixo y são quadrados.’

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cuja base no plano xy é a região limitada pela parábola
y = 1 - x^2
e pelo eixo x (ou seja, y=0), e cujas seções transversais, feitas perpendicularmente ao eixo y, são quadrados. Para resolver, vamos usar o método de seções transversais, em que
V = integralymin^ymax A(y),dy,
sendo A(y) a área do quadrado na altura y.

Passo 2

Em cada nível yin[0,1] a região na base vai de
x = -raiz1 - y até x = +raiz1 - y, é
logo a largura horizontal (lado do quadrado) é
s(y) = 2raiz1 - y
A área desse quadrado é
A(y) = l(s(y)r)^2 = l(2raiz1 - yr)^2 = 4,(1 - y)

Passo 3

O volume do sólido é
V = integral0^1 A(y),dy = integral0^1 4,(1 - y),dy
Calculando a integral:
V = 4integral0^1 (1 - y),dy = 4l[y - tfracy^22r]0^1 = 4l(1 - tfrac12r) = 2

Resposta

O volume do sólido é 2 unidades cúbicas.

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