Exercício 1. Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Em virtude de calcular sua área, decida se é melhor escrever uma integral em x ou y. Calcule a área através de uma integral.
y=|x|, 3 y-x=8;

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = |x|
e
3y - x = 8Long<=ftrightarrow y = x+83
O conteúdo é “área entre curvas” e precisamos decidir se é melhor integrar em x ou em y. Lembrando que, para integrar em x, ambas as curvas devem ser expressas como y=f(x) e a região deve ficar entre dois valores de x.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção resolvendo
|x| = x+83
Para x>=0 temos x = tfracx+83, logo
3x = x+8;Longrightarrow;2x=8;Longrightarrow;x=4,;y=4
Para x<0 temos -x = tfracx+83, logo
-3x = x+8;Longrightarrow;-4x=8;Longrightarrow;x=-2,;y=2
Assim os pontos de interseção são (-2,2) e (4,4).

Passo 3

Para cada x entre -2 e 4, a parte superior da região é a reta y=(x+8)/3 e a parte inferior é y=|x|. Note que basta quebrar em dois trechos, [-2,0] e [0,4], pois aí |x|=-x ou |x|=x. Por isso é mais simples integrar em x.

Passo 4

O volume (área) vale
A = integralx=-2^4l[underbracex+83acima ;-;underbrace|x|abaixor],dx = integral-2^0l(x+83 + xr)dx + integral0^4l(x+83 - xr)dx
Calculando cada integral:
integral-2^0l(x+83 + xr)dx = 13integral-2^0(4x+8),dx = 13l[2x^2+8xr]-2^0 = 13l(0 -(-8)r) = 83,
integral0^4l(x+83 - xr)dx = 13integral0^4(8-2x),dx = 13l[8x - x^2r]0^4 = 13(32-16) = 163

Passo 5

Somando as duas partes:
A = 83 + 163 = 243 = 8

Resposta

A área da região é 8.

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