A) Nos seguintes problemas, determine se as sequiências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
(-1)^n sen(n)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
an = (-1)^n sin(n)
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergisse, teríamos que encontrar limntoinftyan. Para isso vamos usar o critério de convergência via subsequências e propriedades da função sin.

Passo 2

Se an convergisse para algum limite L, então todas as suas subsequências também convergiriam para o mesmo L. Em particular, consideremos as subsequências de índices pares e de índices ímpares:
a2k = (-1)^2ksin(2k) = sin(2k),
a2k+1 = (-1)^2k+1sin(2k+1) = -sin(2k+1)

Passo 3

Vamos mostrar que a2k=sin(2k) não converge. Note que o conjunto 2k bmod 2pi : kinN é denso em [0,2pi], ou seja, podemos encontrar subíndices km tais que 2kmmod2pito 0 (fazendo sin(2km)to0) e outros lm tais que 2lmmod2pitopi/2 (fazendo sin(2lm)to1). Logo, sin(2k) tem pelo menos dois pontos de acumulação distintos (0 e 1) e, portanto, não possui limite conforme ktoinfty.

Passo 4

Como a subsequência a2k não converge, a sequência original an também não pode convergir (pois uma sequência convergente exige que todas as suas subsequências convirjam ao mesmo valor). Portanto, concluímos que (-1)^nsin(n) diverge.

Resposta

A sequência diverge.

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