A) Nos seguintes problemas, determine se as sequiências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergisse, teríamos que encontrar
. Para isso vamos usar o critério de convergência via subsequências e propriedades da função
.
Passo 2
Se
convergisse para algum limite
, então todas as suas subsequências também convergiriam para o mesmo
. Em particular, consideremos as subsequências de índices pares e de índices ímpares:
Passo 3
Vamos mostrar que
não converge. Note que o conjunto
é denso em
, ou seja, podemos encontrar subíndices
tais que
(fazendo
) e outros
tais que
(fazendo
). Logo,
tem pelo menos dois pontos de acumulação distintos (0 e 1) e, portanto, não possui limite conforme
.
Passo 4
Como a subsequência
não converge, a sequência original
também não pode convergir (pois uma sequência convergente exige que todas as suas subsequências convirjam ao mesmo valor). Portanto, concluímos que
diverge.
Resposta
A sequência diverge.