Exercício 2. Encontre o volume dos sólidos de revolução obtidos pela rotação da região delimitadas pelas curvas dadas pela reta especificada. Esboce a região e o sólido.
y=1 / x, y=0, x=1, x=4 pelo eixo x;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido de revolução obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada por
y=1x, y=0, x=1, x=4
O conteúdo principal é o método dos discos, que diz que, para uma região entre y=0 e y=f(x) girando em torno de x, o volume é
V = integralx=a^x=b pil[f(x)r]^2,dx

Passo 2

Primeiro, esboçamos a região no plano xy. Para x indo de 1 a 4, y=1/x é um ramo de hipérbole que decresce de 1 a 1/4. Abaixo dele, o limite inferior é o eixo x ( y=0). Ao girar esse “recorte” em torno do eixo x, cada fatia perpendicular ao x gera um disco de raio R(x)=1/x.

Passo 3

Aplicando o método dos discos, o volume vale
V = integral1^4 pil(R(x)r)^2,dx = pi integral1^4 l(1xr)^2,dx = pi integral1^4 x^-2,dx

Passo 4

Calculamos a integral:
integral x^-2,dx = -,x^-1 + C
Logo,
V = pil[-,x^-1r]1^4 = pil(-tfrac14 -(-1)r) = pil(1 - tfrac14r) = 3pi4

Resposta

O volume do sólido de revolução é
boxed3pi4

Exercícios relacionados