Exercício 1. Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Em virtude de calcular sua área, decida se é melhor escrever uma integral em x ou y. Calcule a área através de uma integral.
y=x^4, y=|x|;

Passo 1

O enunciado pede que a gente faça o esboço da região limitada pelas curvas ;y = x^4; e ;y = |x|;, decida se é melhor integrar em x ou em y para calcular a área, e então efetue o cálculo dessa área. O conteúdo envolvido é o de áreas entre curvas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x^4 = |x|
Isso gera dois casos:
  1. x^4 = x, ou seja x(x^3 - 1)=0, que dá x=0 e x=1.
  2. x^4 = -x, ou seja x(x^3 + 1)=0, que dá x=0 e x=-1.
    Logo, os pontos de interseção são x=-1,0,1.

Passo 3

No esboço vemos que para -1 <= x <= 1 vale |x|>= x^4. Isso significa que, nessa faixa, a reta em V dada por y=|x| está acima da curva y=x^4. A região fica assim “entre” essas duas curvas, de x=-1 até x=1.

Passo 4

Como para cada x em [-1,1] o valor de y varia de y = x^4 (inferior) até y = |x| (superior), é mais direto escrever a integral em x. Assim a área vale
integralx=-1^1l(|x| - x^4r),dx

Passo 5

Usando simetria em torno de x=0,
integral-1^1 |x|,dx = 2integral0^1 x,dx e integral-1^1 x^4,dx = 2integral0^1 x^4,dx
Logo
Área = integral-1^1(|x|-x^4),dx = 2!integral0^1(x - x^4),dx = 2l[tfrac12x^2 - tfrac15x^5r]0^1 = 2l(tfrac12 - tfrac15r) = 2cdottfrac310 = tfrac35 Á

Resposta

A área da região delimitada é tfrac35.

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