Exercício 0.5 Encontre x, y \in \mathbb{N}^{*} tais que \frac{x}{2}-\frac{y}{5}=0,3 e a soma x+y seja a maior possível.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos x,y\in\mathbb{N}^* tais que
\frac{x}{2}-\frac{y}{5}=0,3
e que a soma x+y seja a maior possível. Aqui vamos usar resolução de equação diofantina linear e análise de crescimento da soma.

Passo 2

Convertemos o decimal em fração e eliminamos denominadores. Como 0,3=\tfrac{3}{10}, temos
\frac{x}{2}-\frac{y}{5}=\frac{3}{10}.
Multiplicando ambos os lados por 10, obtemos a equação inteira
5x-2y=3.

Passo 3

Para resolver a diofantina 5x-2y=3, achamos uma solução particular. Testando x=1,
5\cdot1-2y=3\implies2y=2\implies y=1.
Logo (x_0,y_0)=(1,1) é solução particular. A solução geral, lembrando que \gcd(5,2)=1, é
x=1+2k,\quad y=1+5k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Impondo x>0 e y>0 em \mathbb{N}^*, vemos que basta k\ge0. A soma vale
S(k)=x+y=(1+2k)+(1+5k)=2+7k.
Como k pode crescer indefinidamente em \mathbb{N}, a soma S(k) também cresce sem limite.

Resposta

Não existe par (x,y) com soma máxima, pois há infinitas soluções
x=1+2k,\;y=1+5k\quad(k\in\mathbb{N})
e a soma x+y=2+7k cresce indefinidamente.

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