Exercício 3. Uma linha de produção de painéis solares tem uma probabilidade de 5 \% de produzir um painel com um pequeno defeito. Se um engenheiro seleciona aleatoriamente 10 painéis para inspeção, qual a probabilidade de que exatamente 2 deles apresentem defeito ?

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de um painel ter defeito é p=0{,}05. O engenheiro inspeciona n=10 painéis escolhidoss aleatoriamente. A pergunta é: qual a probabilidade de que exatamente 2 dos 10 painéis apresentem defeito? Ou seja, queremos \Pr(X=2) onde X é o número de painéis defeituosos entre os 10.

Passo 2

Para esse tipo de problema usamos a distribuição binomial. Vou explicar de forma bem clara o que isso significa e por que é o caso:
  • Imagine que cada painel inspecionado é um “experimento” com só duas possibilidades: defeituoso (sucesso, no sentido de interesse) ou não defeituoso (fracasso). A probabilidade de defeito em cada painel é sempre a mesma, p, e as inspeções são independentes (o resultado de um painel não afeta o outro).
  • Quando temos n desses experimentos independentes e queremos a probabilidade de exatamente k “sucessos” (aqui, defeitos), a fórmula da distribuição binomial é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Aqui:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n tentativas.
  • \binom{n}{k} é o número de formas de escolher quais k entre as n tentativas deram sucesso.
  • p^{k} é a probabilidade de que essas k escolhidas todas sejam sucessos.
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de que as outras n-k sejam fracassos.
Vou aplicar essa fórmula com n=10, k=2 e p=0{,}05.

Passo 3

Calcular o coeficiente combinatório \binom{10}{2}. A definição é
\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!\,8!},
onde m! (fatorial) significa m\cdot(m-1)\cdots1. Mas não precisamos calcular fatoriais grandes: simplificamos
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{2\cdot1\cdot8!}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=45.
Então existem 45 maneiras diferentes de escolher quais 2 dos 10 painéis serão os defeituosos.

Passo 4

Calcular as potências (0{,}05)^{2} e (1-0{,}05)^{8}=(0{,}95)^{8}.
Primeiro,
(0{,}05)^{2}=0{,}05\cdot0{,}05=0{,}0025.
Agora (0{,}95)^{8}. Uma forma prática é ir quadruplicando:
0{,}95^{2}=0{,}9025,
0{,}95^{4}=(0{,}95^{2})^{2}=0{,}9025^{2}=0{,}81450625,
0{,}95^{8}=(0{,}95^{4})^{2}=0{,}81450625^{2}=0{,}6634204312890625.
(Arredondarei apenas no final; aqui mantive precisão suficiente.)

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula binomial:
\Pr(X=2)=\binom{10}{2}\,(0{,}05)^{2}\,(0{,}95)^{8}.
Substituindo os valores calculados:
\Pr(X=2)=45\cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}6634204312890625.
Faço em duas etapas para ficar claro:
45\cdot 0{,}0025=0{,}1125,
0{,}1125\cdot 0{,}6634204312890625 \approx 0{,}07463479852001953.
Arredondando de forma razoável para quatro casas decimais, obtemos \approx 0{,}07463, que corresponde a cerca de 7{,}463\%.
Uma observação intuitiva: o valor esperado de defeitos é np=10\cdot0{,}05=0{,}5, ou seja, em média meio painel defeituoso por amostra de 10 — por isso a probabilidade de exatamente 2 é relativamente baixa, mas não nula.

Resposta

\binom{10}{2}(0{,}05)^{2}(0{,}95)^{8}\approx 0{,}07463

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