Exercício 3. Uma linha de produção de painéis solares tem uma probabilidade de
de produzir um painel com um pequeno defeito. Se um engenheiro seleciona aleatoriamente 10 painéis para inspeção, qual a probabilidade de que exatamente 2 deles apresentem defeito ?
Passo 1
O enunciado diz que a probabilidade de um painel ter defeito é
. O engenheiro inspeciona
painéis escolhidoss aleatoriamente. A pergunta é: qual a probabilidade de que exatamente
dos
painéis apresentem defeito? Ou seja, queremos
onde
é o número de painéis defeituosos entre os
.
Passo 2
Para esse tipo de problema usamos a distribuição binomial. Vou explicar de forma bem clara o que isso significa e por que é o caso:
- Imagine que cada painel inspecionado é um “experimento” com só duas possibilidades: defeituoso (sucesso, no sentido de interesse) ou não defeituoso (fracasso). A probabilidade de defeito em cada painel é sempre a mesma,
, e as inspeções são independentes (o resultado de um painel não afeta o outro). - Quando temos
desses experimentos independentes e queremos a probabilidade de exatamente “sucessos” (aqui, defeitos), a fórmula da distribuição binomial é
Aqui:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente sucessos em tentativas. -
é o número de formas de escolher quais entre as tentativas deram sucesso. -
é a probabilidade de que essas escolhidas todas sejam sucessos. -
é a probabilidade de que as outras sejam fracassos.
Vou aplicar essa fórmula com
,
e
.
Passo 3
Calcular o coeficiente combinatório
. A definição é
onde
(fatorial) significa
. Mas não precisamos calcular fatoriais grandes: simplificamos
Então existem
maneiras diferentes de escolher quais
dos
painéis serão os defeituosos.
Passo 4
Calcular as potências
e
.
Primeiro,
Agora
. Uma forma prática é ir quadruplicando:
(Arredondarei apenas no final; aqui mantive precisão suficiente.)
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula binomial:
Substituindo os valores calculados:
Faço em duas etapas para ficar claro:
Arredondando de forma razoável para quatro casas decimais, obtemos
, que corresponde a cerca de
.
Uma observação intuitiva: o valor esperado de defeitos é
, ou seja, em média meio painel defeituoso por amostra de 10 — por isso a probabilidade de exatamente
é relativamente baixa, mas não nula.