Exercício 2. Uma refinaria de petróleo registra, em média, 1.5 vazamentos operacionais por mês. Assumindo que a probabilidade segue uma distribuição de Poisson, qual a probabilidade de que ocorram exatamente 3 vazamentos no próximo mês ?

Passo 1

O enunciado fornece que, em média, ocorrem \,1,5\ vazamentos operacionais por mês e que a contagem de vazamentos segue uma distribuição de Poisson. A pergunta é: qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente \,3\ vazamentos no próximo mês?
Informações relevantes dadas: \lambda = 1,5 (média por mês) e queremos P(X=3).

Passo 2

Apresento a fórmula da distribuição de Poisson (a ferramenta que usamos para contar eventos raros por intervalo):
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}
Explicando cada símbolo de forma bem clara:
  • \lambda é a média de eventos no intervalo considerado (aqui \lambda=1,5).
  • k é o número de eventos cuja probabilidade queremos (aqui k=3).
  • e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,7182818.
  • k! (lê-se “ k fatorial”) é o produto de todos os inteiros positivos até k: por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1.
    Essa fórmula vem da modelagem de eventos independentes e raros por unidade de tempo (não precisa decorar a derivação completa agora, basta saber usar a fórmula corretamente).

Passo 3

Aplicamos a fórmula com \lambda=1,5 e k=3. Substituindo, obtemos a expressão exata:
P(X=3)=e^{-1,5}\frac{1,5^{3}}{3!}

Passo 4

Calculamos passo a passo 1,5^{3} e 3!:
1,5^{2}=1,5\cdot1,5=2,25
1,5^{3}=2,25\cdot1,5=3,375
Também,
3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.
Em forma de fração, como cheque rápido: 1,5=\tfrac{3}{2}, então 1,5^{3}=\tfrac{27}{8} e \tfrac{27}{8}\div 6 = \tfrac{27}{48}=\tfrac{9}{16}.

Passo 5

Agora simplificamos a fração \dfrac{1,5^{3}}{3!}:
\frac{1,5^{3}}{3!}=\frac{3,375}{6}=0,5625
ou, em fração exata,
\frac{1,5^{3}}{3!}=\frac{9}{16}=0,5625.

Passo 6

Então a probabilidade fica
P(X=3)=0,5625\cdot e^{-1,5}.
Calculamos e^{-1,5}. Usando a aproximação conhecida,
e^{-1,5}\approx 0,2231301601.
Multiplicando:
P(X=3)\approx 0,5625\cdot 0,2231301601 \approx 0,1255107151.
Arredondando para um número prático (por exemplo, quatro casas decimais), obtemos 0,1255, ou em porcentagem aproximadamente 12,55\%.

Passo 7

Interpretação final rápida: a chance de exatamente três vazamentos no próximo mês, dado que a média é 1,5 por mês e assumindo Poisson, é cerca de 12{,}55\%. Dá para confiar nesse número na prova; se pedirem a forma exata, entregue e^{-1,5}\dfrac{1,5^{3}}{3!}.

Resposta

\displaystyle P(X=3)=e^{-1,5}\frac{1,5^{3}}{3!}\approx 0,12551 (aprox. 12{,}55\%)

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