usando o método de Gauss–Seidel com chute inicial x^{(0)}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\end{bmatrix}^{t} e critério de parada \varepsilon=10^{-1}.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da matriz A e o vetor termo independente b (extraídos do enunciado) são
o chute inicial é x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} e a tolerância é \varepsilon=10^{-1}.
Próximo passo: montar as fórmulas iterativas do Gauss–Seidel e aplicar iterações até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que \varepsilon.]
Passo 2
Explicando o método de Gauss–Seidel (passo-a-passo e com calma). Ideia: em cada iteração k atualizamos cada componente x_i resolvendo a i-ésima equação para x_i e — importante — usamos imediatamente os valores mais recentes já calculados nesta mesma iteração. Para o nosso sistema, isolando cada incógnita em sua equação obtemos as fórmulas iterativas:
Isolando x_{1} na primeira equação:
x_{1}=\frac{1}{10}\bigl(14-2x_{2}-x_{3}\bigr).
Isolando x_{2} na segunda equação:
x_{2}=\frac{1}{5}\bigl(11-x_{1}-x_{3}\bigr).
Isolando x_{3} na terceira equação:
x_{3}=\frac{1}{10}\bigl(8-2x_{1}-3x_{2}\bigr).
No Gauss–Seidel, na iteração k usaremos estas fórmulas com a convenção
Antes de iterar: garantia de convergência (motivação). Uma condição simples que garante convergência do Gauss–Seidel é que a matriz A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou outras condições mais técnicas). Calculando as somas das nãodiagonais:
Em cada linha o elemento diagonal é maior que a soma dos outros elementos em módulo (10>3,\;5>2,\;10>5). Logo A é estritamente diagonalmente dominante por linhas e o método de Gauss–Seidel converge para a solução do sistema a partir de qualquer chute inicial. Bons sinais — podemos iterar com segurança.
Passo 4
Critério de parada e norma usada. Vou usar a norma infinito (máxima diferença absoluta entre componentes) para medir a variação entre iterações:
Paro quando \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}<\varepsilon, isto é, quando a maior mudança entre componentes é menor que 10^{-1}. Começamos com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Como 0,0223376<0,1, o critério \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}<\varepsilon é satisfeito. Podemos parar na iteração k=3.]
Passo 8
Verificação rápida (resíduo) para ver se a solução aproximada satisfaz bem o sistema. Calculo o resíduo r=b-Ax^{(3)} componente a componente usando os valores de x^{(3)} (peguei estes valores dos cálculos anteriores):