Exercício (Entregar!)
  • Resolva o sistema linear:
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}= & 14 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}= & 11 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}= & 8 \end{aligned}\right.
considerando x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t} e \varepsilon=10^{(-1)}.
utilizando o método de Gauss-Seidel.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}= & 14,\\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}= & 11,\\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}= & 8, \end{aligned}\right.
usando o método de Gauss–Seidel com chute inicial x^{(0)}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\end{bmatrix}^{t} e critério de parada \varepsilon=10^{-1}.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da matriz A e o vetor termo independente b (extraídos do enunciado) são
A=\begin{pmatrix}10 & 2 & 1\\[4pt]1 & 5 & 1\\[4pt]2 & 3 & 10\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}14\\[4pt]11\\[4pt]8\end{pmatrix},
o chute inicial é x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} e a tolerância é \varepsilon=10^{-1}.
Próximo passo: montar as fórmulas iterativas do Gauss–Seidel e aplicar iterações até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que \varepsilon.]

Passo 2

Explicando o método de Gauss–Seidel (passo-a-passo e com calma). Ideia: em cada iteração k atualizamos cada componente x_i resolvendo a i-ésima equação para x_i e — importante — usamos imediatamente os valores mais recentes já calculados nesta mesma iteração. Para o nosso sistema, isolando cada incógnita em sua equação obtemos as fórmulas iterativas:
  • Isolando x_{1} na primeira equação:
x_{1}=\frac{1}{10}\bigl(14-2x_{2}-x_{3}\bigr).
  • Isolando x_{2} na segunda equação:
x_{2}=\frac{1}{5}\bigl(11-x_{1}-x_{3}\bigr).
  • Isolando x_{3} na terceira equação:
x_{3}=\frac{1}{10}\bigl(8-2x_{1}-3x_{2}\bigr).
No Gauss–Seidel, na iteração k usaremos estas fórmulas com a convenção
\begin{aligned} x_{1}^{(k)} &= \frac{1}{10}\bigl(14-2x_{2}^{(k-1)}-x_{3}^{(k-1)}\bigr),\\[4pt] x_{2}^{(k)} &= \frac{1}{5}\bigl(11-x_{1}^{(k)}-x_{3}^{(k-1)}\bigr),\\[4pt] x_{3}^{(k)} &= \frac{1}{10}\bigl(8-2x_{1}^{(k)}-3x_{2}^{(k)}\bigr). \end{aligned}]

Passo 3

Antes de iterar: garantia de convergência (motivação). Uma condição simples que garante convergência do Gauss–Seidel é que a matriz A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou outras condições mais técnicas). Calculando as somas das nãodiagonais:
\begin{aligned} |a_{11}| &=10,&\quad |a_{12}|+|a_{13}| &=2+1=3,\\\ |a_{22}| &=5,&\quad |a_{21}|+|a_{23}| &=1+1=2,\\\ |a_{33}| &=10,&\quad |a_{31}|+|a_{32}| &=2+3=5. \end{aligned}
Em cada linha o elemento diagonal é maior que a soma dos outros elementos em módulo ( 10>3,\;5>2,\;10>5). Logo A é estritamente diagonalmente dominante por linhas e o método de Gauss–Seidel converge para a solução do sistema a partir de qualquer chute inicial. Bons sinais — podemos iterar com segurança.

Passo 4

Critério de parada e norma usada. Vou usar a norma infinito (máxima diferença absoluta entre componentes) para medir a variação entre iterações:
\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k-1)}|.
Paro quando \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}<\varepsilon, isto é, quando a maior mudança entre componentes é menor que 10^{-1}. Começamos com x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Iteração k=1. Aplico as fórmulas usando x^{(0)}:
  • Calcular x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(14-2\cdot 0-0\bigr)=\frac{14}{10}=1,4.
  • Calcular x_{2}^{(1)} usando x_{1}^{(1)} e x_{3}^{(0)}:
x_{2}^{(1)}=\frac{1}{5}\bigl(11-1,4-0\bigr)=\frac{9,6}{5}=1,92.
  • Calcular x_{3}^{(1)} usando x_{1}^{(1)} e x_{2}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(8-2\cdot 1,4-3\cdot 1,92\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(8-2,8-5,76\bigr) =\frac{-0,56}{10}=-0,056.
Portanto
x^{(1)}=\begin{pmatrix}1,4\\[2pt]1,92\\[2pt]-0,056\end{pmatrix}.
Diferença em relação a x^{(0)}:
\|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max\{1,4,\;1,92,\;0,056\}=1,92,
que é maior que \varepsilon=0,1. Continuamos.]

Passo 6

Iteração k=2. Uso x^{(1)} nos cálculos:
  • x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(14-2\cdot 1,92-(-0,056)\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(14-3,84+0,056\bigr) =\frac{10,216}{10}=1,0216.
  • x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{1}{5}\bigl(11-1,0216-(-0,056)\bigr) =\frac{1}{5}\bigl(11-1,0216+0,056\bigr) =\frac{10,0344}{5}=2,00688.
  • x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(8-2\cdot 1,0216-3\cdot 2,00688\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(8-2,0432-6,02064\bigr) =\frac{-0,06384}{10}=-0,006384.
Assim
x^{(2)}=\begin{pmatrix}1,0216\\[2pt]2,00688\\[2pt]-0,006384\end{pmatrix}.
Diferença em relação a x^{(1)}:
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max\{|1,0216-1,4|,\;|2,00688-1,92|,\;|{-}0,006384-(-0,056)|\}
=\max\{0,3784,\;0,08688,\;0,049616\}=0,3784>0,1.
Ainda não atingimos a tolerância; continuamos.]

Passo 7

Iteração k=3. Uso x^{(2)}:
  • x_{1}^{(3)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(14-2\cdot 2,00688-(-0,006384)\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(14-4,01376+0,006384\bigr) =\frac{9,992624}{10}=0,9992624.
  • x_{2}^{(3)}:
x_{2}^{(3)}=\frac{1}{5}\bigl(11-0,9992624-(-0,006384)\bigr) =\frac{1}{5}\bigl(11-0,9992624+0,006384\bigr) =\frac{10,0071216}{5}=2,00142432.
  • x_{3}^{(3)}:
x_{3}^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(8-2\cdot 0,9992624-3\cdot 2,00142432\bigr) =\frac{1}{10}\bigl(8-1,9985248-6,00427296\bigr) =\frac{-0,00279776}{10}=-0,000279776.
Logo
x^{(3)}=\begin{pmatrix}0,9992624\\[2pt]2,00142432\\[2pt]-0,000279776\end{pmatrix}.
Agora a diferença entre x^{(3)} e x^{(2)} é
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max\{\,|0,9992624-1,0216|,\;|2,00142432-2,00688|,\;|{-}0,000279776-(-0,006384)|\,\}
=\max\{0,0223376,\;0,00545568,\;0,006104224\}=0,0223376.
Como 0,0223376<0,1, o critério \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}<\varepsilon é satisfeito. Podemos parar na iteração k=3.]

Passo 8

Verificação rápida (resíduo) para ver se a solução aproximada satisfaz bem o sistema. Calculo o resíduo r=b-Ax^{(3)} componente a componente usando os valores de x^{(3)} (peguei estes valores dos cálculos anteriores):
  • Para a primeira equação:
r_{1}=14-(10\cdot 0,9992624+2\cdot 2,00142432+1\cdot(-0,000279776)) \approx 14-(9,992624+4,00284864-0,000279776)\approx 0,004807136.
  • Para a segunda equação:
r_{2}=11-(1\cdot 0,9992624+5\cdot 2,00142432+1\cdot(-0,000279776)) \approx 11-(0,9992624+10,0071216-0,000279776)\approx -0,006104224.
  • Para a terceira equação:
r_{3}=8-(2\cdot 0,9992624+3\cdot 2,00142432+10\cdot(-0,000279776)) \approx 8-(1,9985248+6,00427296-0,00279776)\approx 0,000999999.
Os resíduos são muito pequenos (ordem 10^{-3} ou menores), confirmando que a aproximação está boa e consistente com a tolerância solicitada.

Resposta

\displaystyle x\approx\begin{pmatrix}0,99926\\[4pt]2,00142\\[4pt]-0,00028\end{pmatrix}]

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