Exercício (Entregar!)
  • Resolva o sistema linear:
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}= & 14 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}= & 11 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}= & 8 \end{aligned}\right.
considerando x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t} e \varepsilon=10^{(-1)}.
utilizando o método de Gauss-Jacobi;

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}= &\; 14,\\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+x_{3}= &\; 11,\\[4pt] 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}= &\; 8, \end{aligned}\right.
usando o método de Gauss–Jacobi com vetor inicial \,x^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}\, e tolerância \varepsilon=10^{(-1)}=0,1.
Informações dadas e o que se pede:
  • Sistema linear com três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Método exigido: Gauss–Jacobi (iterações paralelas usando valores da iteração anterior).
  • Condição de parada: \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon (adotarei esta norma máxima entre componentes).
  • Vetor inicial: x^{(0)}=(0,0,0)^{t}.]

Passo 2

Explicação didática do método de Gauss–Jacobi (fórmula e ideia).
  • Ideia: isolar cada incógnita na sua equação e, a cada iteração, calcular cada nova componente usando apenas os valores da iteração anterior.
  • Para o sistema dado, isolando x_{1},x_{2},x_{3} obtemos as fórmulas de iteração de Jacobi:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(14-2x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(11-x_{1}^{(k)}-x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(8-2x_{1}^{(k)}-3x_{2}^{(k)}\bigr).
  • Cada variável no passo k+1 usa somente valores do passo k, por isso as atualizações são paralelas.
Convergência (por que podemos aplicar Jacobi com segurança):
  • Uma condição suficiente simples para convergência é que a matriz do sistema seja estritamente diagonal dominante por linhas.
  • Aqui a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}10 & 2 & 1\\[2pt]1 & 5 & 1\\[2pt]2 & 3 & 10\end{pmatrix}.
  • Verificando dominância por linhas:
    • Linha 1: |10|>|2|+|1| \Rightarrow 10>3 (ok).
    • Linha 2: |5|>|1|+|1| \Rightarrow 5>2 (ok).
    • Linha 3: |10|>|2|+|3| \Rightarrow 10>5 (ok).
  • Como há dominância estrita em todas as linhas, o método de Jacobi converge para a solução única do sistema a partir de qualquer vetor inicial (portanto o x^{(0)} dado é adequado).]

Passo 3

Critério de parada e norma escolhida.
  • Vou usar a norma infinito (máximo valor absoluto das diferenças entre componentes) como critério:
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}=\max_{i=1,2,3}\bigl|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}\bigr|.
  • Paro quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon=0,1.

Passo 4

Iteração k=0\to k=1 (partindo de x^{(0)}=(0,0,0)^{t}).
  • Aplicando as fórmulas:
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{10}(14-2\cdot0-0)=\frac{14}{10}=1,4,
x_{2}^{(1)}=\frac{1}{5}(11-0-0)=\frac{11}{5}=2,2,
x_{3}^{(1)}=\frac{1}{10}(8-2\cdot0-3\cdot0)=\frac{8}{10}=0,8.
  • Vetor obtido:
x^{(1)}=\begin{bmatrix}1,4\\[2pt]2,2\\[2pt]0,8\end{bmatrix}.
  • Diferença para o passo anterior:
x^{(1)}-x^{(0)}=\begin{bmatrix}1,4\\[2pt]2,2\\[2pt]0,8\end{bmatrix}, \qquad \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=2,2>0,1.
  • Ainda não satisfaz o critério de parada.]

Passo 5

Iteração k=1\to k=2.
  • Usando x^{(1)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(14-2\cdot2,2-0,8\bigr)=\frac{1}{10}(14-4,4-0,8)=\frac{8,8}{10}=0,88,
x_{2}^{(2)}=\frac{1}{5}\bigl(11-1,4-0,8\bigr)=\frac{1}{5}(8,8)=1,76,
x_{3}^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(8-2\cdot1,4-3\cdot2,2\bigr)=\frac{1}{10}(8-2,8-6,6)=\frac{-1,4}{10}=-0,14.
  • Vetor:
x^{(2)}=\begin{bmatrix}0,88\\[2pt]1,76\\[2pt]-0,14\end{bmatrix}.
  • Diferença e norma:
x^{(2)}-x^{(1)}=\begin{bmatrix}-0,52\\[2pt]-0,44\\[2pt]-0,94\end{bmatrix}, \qquad \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=0,94>0,1.
  • Continua.]

Passo 6

Iteração k=2\to k=3.
  • Usando x^{(2)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(14-2\cdot1,76-(-0,14)\bigr)=\frac{1}{10}(14-3,52+0,14)=\frac{10,62}{10}=1,062,
x_{2}^{(3)}=\frac{1}{5}\bigl(11-0,88-(-0,14)\bigr)=\frac{1}{5}(11-0,88+0,14)=\frac{10,26}{5}=2,052,
x_{3}^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(8-2\cdot0,88-3\cdot1,76\bigr)=\frac{1}{10}(8-1,76-5,28)=\frac{0,96}{10}=0,096.
  • Vetor:
x^{(3)}=\begin{bmatrix}1,062\\[2pt]2,052\\[2pt]0,096\end{bmatrix}.
  • Diferença e norma:
x^{(3)}-x^{(2)}=\begin{bmatrix}0,182\\[2pt]0,292\\[2pt]0,236\end{bmatrix}, \qquad \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=0,292>0,1.
  • Ainda não atingimos a tolerância.]

Passo 7

Iteração k=3\to k=4.
  • Usando x^{(3)}:
x_{1}^{(4)}=\frac{1}{10}\bigl(14-2\cdot2,052-0,096\bigr)=\frac{1}{10}(14-4,104-0,096)=\frac{9,8}{10}=0,98,
x_{2}^{(4)}=\frac{1}{5}\bigl(11-1,062-0,096\bigr)=\frac{1}{5}(9,842)=1,9684,
x_{3}^{(4)}=\frac{1}{10}\bigl(8-2\cdot1,062-3\cdot2,052\bigr)=\frac{1}{10}(8-2,124-6,156)=\frac{-0,28}{10}=-0,028.
  • Vetor:
x^{(4)}=\begin{bmatrix}0,98\\[2pt]1,9684\\[2pt]-0,028\end{bmatrix}.
  • Diferença e norma:
x^{(4)}-x^{(3)}=\begin{bmatrix}-0,082\\[2pt]-0,0836\\[2pt]-0,124\end{bmatrix}, \qquad \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}=0,124>0,1.
  • Ainda acima de 0,1.]

Passo 8

Iteração k=4\to k=5.
  • Usando x^{(4)}:
x_{1}^{(5)}=\frac{1}{10}\bigl(14-2\cdot1,9684-(-0,028)\bigr)=\frac{1}{10}(14-3,9368+0,028)=\frac{10,0912}{10}=1,00912,
x_{2}^{(5)}=\frac{1}{5}\bigl(11-0,98-(-0,028)\bigr)=\frac{1}{5}(11-0,98+0,028)=\frac{10,048}{5}=2,0096,
x_{3}^{(5)}=\frac{1}{10}\bigl(8-2\cdot0,98-3\cdot1,9684\bigr)=\frac{1}{10}(8-1,96-5,9052)=\frac{0,1348}{10}=0,01348.
  • Vetor:
x^{(5)}=\begin{bmatrix}1,00912\\[2pt]2,0096\\[2pt]0,01348\end{bmatrix}.
  • Diferença e norma:
x^{(5)}-x^{(4)}=\begin{bmatrix}0,02912\\[2pt]0,0412\\[2pt]0,04148\end{bmatrix}, \qquad \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}=0,04148<0,1.
  • Agora a condição de parada é satisfeita; portanto paramos na iteração k=5.]

Passo 9

Interpretação final e observações.
  • O método convergiu (confirmando a previsão pela dominância diagonal).
  • A aproximação obtida ao parar com \varepsilon=0,1 é o vetor x^{(5)} calculado acima.
  • Se fosse necessária maior precisão, bastaria continuar iterações até uma tolerância menor.

Resposta

x\approx\begin{pmatrix}1,00912\\[2pt]2,0096\\[2pt]0,01348\end{pmatrix}]

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