Exercício (Entregar!)
- Resolva o sistema linear:
considerando
e
.
utilizando o método de Gauss-Jacobi;
utilizando o método de Gauss-Jacobi;
Passo 1
O enunciado pede resolver o sistema linear
usando o método de Gauss–Jacobi com vetor inicial
e tolerância
.
Informações dadas e o que se pede:
- Sistema linear com três incógnitas
. - Método exigido: Gauss–Jacobi (iterações paralelas usando valores da iteração anterior).
- Condição de parada:
(adotarei esta norma máxima entre componentes). - Vetor inicial:
.]
Passo 2
Explicação didática do método de Gauss–Jacobi (fórmula e ideia).
- Ideia: isolar cada incógnita na sua equação e, a cada iteração, calcular cada nova componente usando apenas os valores da iteração anterior.
- Para o sistema dado, isolando
obtemos as fórmulas de iteração de Jacobi:
- Cada variável no passo
usa somente valores do passo , por isso as atualizações são paralelas.
Convergência (por que podemos aplicar Jacobi com segurança):
- Uma condição suficiente simples para convergência é que a matriz do sistema seja estritamente diagonal dominante por linhas.
- Aqui a matriz dos coeficientes é
- Verificando dominância por linhas:
- Linha 1:
(ok). - Linha 2:
(ok). - Linha 3:
(ok).
- Linha 1:
- Como há dominância estrita em todas as linhas, o método de Jacobi converge para a solução única do sistema a partir de qualquer vetor inicial (portanto o
dado é adequado).]
Passo 3
Critério de parada e norma escolhida.
- Vou usar a norma infinito (máximo valor absoluto das diferenças entre componentes) como critério:
- Paro quando
.
Passo 4
Iteração
(partindo de
).
- Aplicando as fórmulas:
- Vetor obtido:
- Diferença para o passo anterior:
- Ainda não satisfaz o critério de parada.]
Passo 5
Iteração
.
- Usando
:
- Vetor:
- Diferença e norma:
- Continua.]
Passo 6
Iteração
.
- Usando
:
- Vetor:
- Diferença e norma:
- Ainda não atingimos a tolerância.]
Passo 7
Iteração
.
- Usando
:
- Vetor:
- Diferença e norma:
- Ainda acima de
.]
Passo 8
Iteração
.
- Usando
:
- Vetor:
- Diferença e norma:
- Agora a condição de parada é satisfeita; portanto paramos na iteração
.]
Passo 9
Interpretação final e observações.
- O método convergiu (confirmando a previsão pela dominância diagonal).
- A aproximação obtida ao parar com
é o vetor calculado acima. - Se fosse necessária maior precisão, bastaria continuar iterações até uma tolerância menor.