Questão 23. Considere um cristal cúbico de um mineral anisotrópico - isto é, que se dilata a diferentes taxas para cada direção - de aresta \mathrm{a}=1 \mathrm{~cm}. Considerando que os coeficientes de dilatação linear em cada uma das direções são \alpha_{x}=1 \cdot 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, \alpha_{y}=2 \cdot 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e \alpha_{z}=3 \cdot 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, determine, quando o cristal for aquecido de 60^{\circ} \mathrm{C}, a variação de volume do cristal, em \mathrm{cm}^{3}.
\mathbf{A}() 3,6 \cdot 10^{-4}
B ( ) 3,6 \cdot 10^{-5}
C ( ) 6,0 \cdot 10^{-4}
D ( ) 1,8 \cdot 10^{-4}
E ( ) 3,6 \cdot 10^{-6}

Passo 1

O enunciado dá um cristal cúbico com aresta \mathrm{a}=1\\ \mathrm{cm} e coeficientes lineares de dilatação diferentes em cada direção:
  • \alpha_{x}=1\cdot10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}
  • \alpha_{y}=2\cdot10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}
  • \alpha_{z}=3\cdot10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}
O cristal é aquecido "de 60^\circ\mathrm{C}". Vou entender isso como um aumento de temperatura \Delta T=60\\ ^\circ\mathrm{C}. O que se pede: determinar a variação de volume do cristal, em \mathrm{cm}^3.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (passo-a-passo do que significa e por que usar).
Quando uma dimensão linear L sofre dilatação linear com coeficiente \alpha e aumento de temperatura \Delta T, o novo comprimento L' é dado por
L'=L\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr).
Aqui:
  • L é o comprimento inicial,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura.
No nosso cubo anisotrópico as três arestas se dilatam de forma independente nas direções x,y,z. Se o volume inicial é V_0=a^3, o volume final V_f é o produto dos novos comprimentos:
V_f = a(1+\alpha_x\Delta T)\cdot a(1+\alpha_y\Delta T)\cdot a(1+\alpha_z\Delta T) = a^3\,(1+\alpha_x\Delta T)(1+\alpha_y\Delta T)(1+\alpha_z\Delta T).
A variação de volume é
\Delta V = V_f - V_0 = a^3\Big[(1+\alpha_x\Delta T)(1+\alpha_y\Delta T)(1+\alpha_z\Delta T)-1\Big].
Para coeficientes muito pequenos (como aqui), costuma-se usar a aproximação de primeira ordem (descartando termos quadráticos e cúbicos em \alpha\Delta T):
\Delta V \approx V_0\bigl(\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z\bigr)\Delta T.
Vou calcular tanto essa aproximação (que é a prática comum em prova) quanto o produto exato para mostrar que os termos de ordem superior são desprezíveis.

Passo 3

Calcular valores numéricos iniciais e produtos simples.
Volume inicial:
V_0=a^3=1^3=1\\ \mathrm{cm}^3.
Produtos \alpha_i\Delta T:
\alpha_x\Delta T = 1\cdot10^{-6}\times60 = 60\cdot10^{-6}=6\cdot10^{-5},
\alpha_y\Delta T = 2\cdot10^{-6}\times60 = 120\cdot10^{-6}=1{,}2\cdot10^{-4},
\alpha_z\Delta T = 3\cdot10^{-6}\times60 = 180\cdot10^{-6}=1{,}8\cdot10^{-4}.

Passo 4

Cálculo pela aproximação de primeira ordem (fórmula útil na prova, rápida e segura):
Somando os coeficientes:
\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z = 1\cdot10^{-6}+2\cdot10^{-6}+3\cdot10^{-6}=6\cdot10^{-6}.
Então, pela fórmula aproximada,
\Delta V \approx V_0(\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z)\Delta T =1\cdot(6\cdot10^{-6})\cdot60=6\cdot10^{-6}\cdot60=3{,}6\cdot10^{-4}\\ \mathrm{cm}^3.
Essa é a resposta rápida que normalmente se espera em prova.

Passo 5

Cálculo exato (mostrar que os termos de ordem superior são irrelevantes numericamente).
Usando a expressão exata:
V_f = a^3(1+6\cdot10^{-5})(1+1{,}2\cdot10^{-4})(1+1{,}8\cdot10^{-4}).
Multiplicando passo a passo:
(1+6\cdot10^{-5})(1+1{,}2\cdot10^{-4})=1+1{,}8\cdot10^{-4}+7{,}2\cdot10^{-9},
\bigl(1+1{,}8\cdot10^{-4}\bigr)\bigl(1+1{,}8\cdot10^{-4}+7{,}2\cdot10^{-9}\bigr) =1+3{,}6\cdot10^{-4}+3{,}96\cdot10^{-8}+\text{termo muito pequeno}.
Portanto
\Delta V = V_0\bigl(3{,}6\cdot10^{-4}+3{,}96\cdot10^{-8}+\cdots\bigr) \approx 3{,}6000396\cdot10^{-4}\\ \mathrm{cm}^3.
O acréscimo 3{,}96\cdot10^{-8} é irrelevante frente a 3{,}6\cdot10^{-4}, então a aproximação de primeira ordem já dá o valor correto na precisão prática.

Passo 6

Resumo e interpretação final — motivação para usar o método mais simples na prova.
  • Método direto e seguro: calcular V_f pelo produto dos fatores (1+\alpha_i\Delta T).
  • Para coeficientes muito pequenos, a fórmula aproximada \Delta V\approx V_0(\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z)\Delta T é rápida e suficiente.
  • Aplicando essa fórmula chegamos a \Delta V=3{,}6\cdot10^{-4}\\ \mathrm{cm}^3. Dá para checar pelo cálculo exato que o erro é da ordem de 10^{-8}\\ \mathrm{cm}^3, totalmente desprezível.

Resposta

A 3,6\cdot10^{-4}\\ \mathrm{cm}^3

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