Questão 23. Considere um cristal cúbico de um mineral anisotrópico - isto é, que se dilata a diferentes taxas para cada direção - de aresta
. Considerando que os coeficientes de dilatação linear em cada uma das direções são
e
, determine, quando o cristal for aquecido de
, a variação de volume do cristal, em
.
B ( )
C ( )
D ( )
E ( )
B ( )
C ( )
D ( )
E ( )
Passo 1
O enunciado dá um cristal cúbico com aresta
e coeficientes lineares de dilatação diferentes em cada direção:
O cristal é aquecido "de
". Vou entender isso como um aumento de temperatura
. O que se pede: determinar a variação de volume do cristal, em
.
Passo 2
Conceito e fórmula básica (passo-a-passo do que significa e por que usar).
Quando uma dimensão linear
sofre dilatação linear com coeficiente
e aumento de temperatura
, o novo comprimento
é dado por
Aqui:
-
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de dilatação linear (unidade ), -
é a variação de temperatura.
No nosso cubo anisotrópico as três arestas se dilatam de forma independente nas direções
. Se o volume inicial é
, o volume final
é o produto dos novos comprimentos:
A variação de volume é
Para coeficientes muito pequenos (como aqui), costuma-se usar a aproximação de primeira ordem (descartando termos quadráticos e cúbicos em
):
Vou calcular tanto essa aproximação (que é a prática comum em prova) quanto o produto exato para mostrar que os termos de ordem superior são desprezíveis.
Passo 3
Calcular valores numéricos iniciais e produtos simples.
Volume inicial:
Produtos
:
Passo 4
Cálculo pela aproximação de primeira ordem (fórmula útil na prova, rápida e segura):
Somando os coeficientes:
Então, pela fórmula aproximada,
Essa é a resposta rápida que normalmente se espera em prova.
Passo 5
Cálculo exato (mostrar que os termos de ordem superior são irrelevantes numericamente).
Usando a expressão exata:
Multiplicando passo a passo:
Portanto
O acréscimo
é irrelevante frente a
, então a aproximação de primeira ordem já dá o valor correto na precisão prática.
Passo 6
Resumo e interpretação final — motivação para usar o método mais simples na prova.
- Método direto e seguro: calcular
pelo produto dos fatores . - Para coeficientes muito pequenos, a fórmula aproximada
é rápida e suficiente. - Aplicando essa fórmula chegamos a
. Dá para checar pelo cálculo exato que o erro é da ordem de , totalmente desprezível.
Resposta
A