[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Defina a multiplicação de um escalar por vetor.
Defina a multiplicação de um escalar por vetor.
Passo 1
O enunciado pede que eu “defina a multiplicação de um escalar por vetor”.
Informações dadas: apenas a solicitação de definição (não há exemplo específico nem figura).
O que preciso entregar: uma definição clara e exemplos/explicações que mostrem como essa operação funciona na prática.
Informações dadas: apenas a solicitação de definição (não há exemplo específico nem figura).
O que preciso entregar: uma definição clara e exemplos/explicações que mostrem como essa operação funciona na prática.
Passo 2
Definição concreta em coordenadas (caso mais intuitivo): seja um vetor em
escrito como
e seja um escalar
.
A multiplicação do escalar pelo vetor
é a operação que produz um novo vetor obtido multiplicando cada componente de
por
. Em notação:
A multiplicação do escalar
Aqui cada
é o produto usual de números reais.
Passo 3
Explicando o que cada símbolo significa (para não deixar dúvida):
-
é um número real (o “escalar”). -
é um vetor em . -
é a -ésima coordenada do vetor . -
é o vetor resultado da multiplicação escalar, cujo -ésimo componente é .
Passo 4
Interpretação geométrica (útil para prova):
- O efeito de
em é “escalar” o comprimento do vetor por . - Se
, o vetor resultante tem mesma direção de e comprimento multiplicado por . - Se
, além de escalar o comprimento por , a direção é invertida (vetor aponta para o lado contrário). - Se
, o resultado é o vetor nulo (todas as componentes são zero).
Passo 5
Exemplos numéricos para fixar (faça igual na prova):
- Exemplo 1: para
e ,
- Exemplo 2: para
e ,
Passo 6
Propriedades importantes que normalmente aparecem em provas (mostro como verificar usando a definição componente-a-componente):
- Distributividade sobre soma de vetores:
Prova rápida: se
e
, então
e
- Distributividade sobre soma de escalares:
Prova: componente a componente,
.
- Associatividade escalar:
Prova:
para cada componente.
- Elemento neutro do escalar:
Prova:
componente a componente.
- Propriedades com zero:
onde o primeiro
é o escalar nulo e o segundo
é o vetor nulo. Prova: multiplicando cada componente por
dá zero.
Todas essas propriedades decorrem diretamente da multiplicação usual de números aplicada a cada componente.
Passo 7
Versão abstrata (definição em espaços vetoriais): em um espaço vetorial
sobre um corpo
(por exemplo
ou
), a multiplicação escalar é uma operação
que satisfaz as propriedades listadas no passo anterior (as axiomas de compatibilidade com soma de vetores, soma de escalares, associatividade, e existência de
atuando como identidade). Essas axiomas são o que tornam
um espaço vetorial.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (meio humor amigo):
- Se o vetor estiver em coordenadas, multiplica componente a componente — quase nunca erra.
- Para questões geométricas, pense em “alongar/encurtar” o vetor por
e inverter a direção se . - Use as propriedades (distributividade, associatividade) para simplificar expressões com várias multiplicações escalares e somas.
Resposta
A multiplicação de um escalar
por um vetor
em
é dada por
ou, de forma abstrata em um espaço vetorial
sobre um corpo
, é a operação
que satisfaz as propriedades de distributividade, associatividade e identidade necessárias aos axiomas de espaço vetorial.