[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Defina a multiplicação de um escalar por vetor.

Passo 1

O enunciado pede que eu “defina a multiplicação de um escalar por vetor”.
Informações dadas: apenas a solicitação de definição (não há exemplo específico nem figura).
O que preciso entregar: uma definição clara e exemplos/explicações que mostrem como essa operação funciona na prática.

Passo 2

Definição concreta em coordenadas (caso mais intuitivo): seja um vetor em \mathbb{R}^n escrito como \,v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\, e seja um escalar \alpha\in\mathbb{R}.
A multiplicação do escalar \alpha pelo vetor v é a operação que produz um novo vetor obtido multiplicando cada componente de v por \alpha. Em notação:
\alpha v = (\alpha v_1,\alpha v_2,\dots,\alpha v_n).
Aqui cada \alpha v_i é o produto usual de números reais.

Passo 3

Explicando o que cada símbolo significa (para não deixar dúvida):
  • \alpha é um número real (o “escalar”).
  • v é um vetor em \mathbb{R}^n.
  • v_i é a i-ésima coordenada do vetor v.
  • \alpha v é o vetor resultado da multiplicação escalar, cujo i-ésimo componente é \alpha v_i.

Passo 4

Interpretação geométrica (útil para prova):
  • O efeito de \alpha em v é “escalar” o comprimento do vetor por |\alpha|.
  • Se \alpha>0, o vetor resultante tem mesma direção de v e comprimento multiplicado por \alpha.
  • Se \alpha<0, além de escalar o comprimento por |\alpha|, a direção é invertida (vetor aponta para o lado contrário).
  • Se \alpha=0, o resultado é o vetor nulo (todas as componentes são zero).

Passo 5

Exemplos numéricos para fixar (faça igual na prova):
  • Exemplo 1: para v=(1,3) e \alpha=2,
2v = (2\cdot 1,\,2\cdot 3) = (2,6).
  • Exemplo 2: para v=(4,-1,0) e \alpha=-\tfrac{1}{2},
-\tfrac{1}{2}v = (-\tfrac{1}{2}\cdot 4,\,-\tfrac{1}{2}\cdot(-1),\,-\tfrac{1}{2}\cdot 0) = (-2,\,\tfrac{1}{2},\,0).

Passo 6

Propriedades importantes que normalmente aparecem em provas (mostro como verificar usando a definição componente-a-componente):
  1. Distributividade sobre soma de vetores:
\alpha(u+v)=\alpha u + \alpha v.
Prova rápida: se u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n), então
u+v=(u_1+v_1,\dots,u_n+v_n)
e
\alpha(u+v)=(\alpha(u_1+v_1),\dots,\alpha(u_n+v_n))=(\alpha u_1+\alpha v_1,\dots,\alpha u_n+\alpha v_n)=\alpha u+\alpha v.
  1. Distributividade sobre soma de escalares:
(\alpha+\beta)v=\alpha v + \beta v.
Prova: componente a componente, (\alpha+\beta)v_i=\alpha v_i+\beta v_i.
  1. Associatividade escalar:
(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v).
Prova: (\alpha\beta)v_i=\alpha(\beta v_i) para cada componente.
  1. Elemento neutro do escalar:
1\cdot v = v.
Prova: 1\cdot v_i=v_i componente a componente.
  1. Propriedades com zero:
0\cdot v = 0 \quad\text{e}\quad \alpha\cdot 0 = 0,
onde o primeiro 0 é o escalar nulo e o segundo 0 é o vetor nulo. Prova: multiplicando cada componente por 0 dá zero.
Todas essas propriedades decorrem diretamente da multiplicação usual de números aplicada a cada componente.

Passo 7

Versão abstrata (definição em espaços vetoriais): em um espaço vetorial V sobre um corpo F (por exemplo F=\mathbb{R} ou \mathbb{C}), a multiplicação escalar é uma operação
F\times V \to V,\qquad (\alpha,v)\mapsto \alpha v,
que satisfaz as propriedades listadas no passo anterior (as axiomas de compatibilidade com soma de vetores, soma de escalares, associatividade, e existência de 1 atuando como identidade). Essas axiomas são o que tornam V um espaço vetorial.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (meio humor amigo):
  • Se o vetor estiver em coordenadas, multiplica componente a componente — quase nunca erra.
  • Para questões geométricas, pense em “alongar/encurtar” o vetor por |\alpha| e inverter a direção se \alpha<0.
  • Use as propriedades (distributividade, associatividade) para simplificar expressões com várias multiplicações escalares e somas.

Resposta

A multiplicação de um escalar \alpha por um vetor v=(v_1,v_2,\dots,v_n) em \mathbb{R}^n é dada por
\alpha v = (\alpha v_1,\alpha v_2,\dots,\alpha v_n),
ou, de forma abstrata em um espaço vetorial V sobre um corpo F, é a operação (\alpha,v)\mapsto \alpha v que satisfaz as propriedades de distributividade, associatividade e identidade necessárias aos axiomas de espaço vetorial.

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