[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Observação: em nosso curso, vamos denotar o vetor nulo como:
. O prof. Reginaldo, em seu livro, usa a notação
.
Defina a diferença (ou subtração) de dois vetores.
Observação: em nosso curso, vamos denotar o vetor nulo como:
Defina a diferença (ou subtração) de dois vetores.
Passo 1
O enunciado pede: “Defina a diferença (ou subtração) de dois vetores.”
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
- Queremos uma definição precisa do que é a subtração entre dois vetores.
- A notação do vetor nulo é
(isso é relevante para propriedades). - Não há dados numéricos; a tarefa é conceitual e também mostrar como calcular na prática.
Passo 2
Primeiro passo didático: lembrar o que é somar vetores (porque subtração será construída a partir disso).
Soma de vetores (intuição curta): somar e
significa formar um vetor que é o resultado de colocar a cauda de
na cabeça de
e tomar o vetor do ponto inicial da soma ao ponto final. Em notação, a soma é
.
Soma de vetores (intuição curta): somar
Passo 3
Definição do oposto de um vetor (necessária para subtração):
O oposto de um vetor é o vetor que tem a mesma intensidade (módulo) de
e direção oposta. Denotamos por
. Em outras palavras, se
aponta para uma certa direção,
aponta exatamente na direção contrária e tem o mesmo comprimento.
O oposto de um vetor
Passo 4
Agora a definição formal da subtração de vetores:
A diferença (ou subtração) entre dois vetores e
é definida como a soma de
com o oposto de
. Ou seja,
A diferença (ou subtração) entre dois vetores
Isso resolve a subtração transformando-a numa soma (fácil de visualizar e calcular).
Passo 5
Interpretação geométrica (como desenhar na prova):
- Coloque as caudas de
e no mesmo ponto (origem comum). - Então
é o vetor que vai da ponta (cabeça) de até a ponta de .
Essa é uma maneira muito útil de lembrar e justificar a definição em provas geométricas.
Passo 6
Expressão componente a componente (útil para cálculo sem desenhar):
Se e
, então
Se
Explicação: subtrair componentes é equivalente a somar com o negativo componente a componente, porque
.
Passo 7
Exemplo numérico passo a passo (faça assim na prova sem calculadora):
Se e
, então primeiro calculo o oposto:
Se
Agora somo com
:
Pronto — siga esse procedimento com qualquer vetor.
Passo 8
Propriedades úteis (decore e use em provas):
-
. (subtrair um vetor por ele mesmo dá o vetor nulo) -
. (trocar a ordem muda o sinal) -
para escalar . (distributividade do escalar) -
. (maneiras convenientes de reagrupar)
Passo 9
Dica prática final (para não se desesperar na prova): sempre transforme subtração em soma com o oposto e escolha entre desenhar (geométrico) ou operar por componentes (algebraico). Se precisar isolar um vetor num problema, lembre que
implica
.
Resposta
Se