[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Observação: em nosso curso, vamos denotar o vetor nulo como: \overrightarrow{0}. O prof. Reginaldo, em seu livro, usa a notação \overline{0}.
Defina a diferença (ou subtração) de dois vetores.

Passo 1

O enunciado pede: “Defina a diferença (ou subtração) de dois vetores.”
Informações dadas e objetivo claro:
  • Queremos uma definição precisa do que é a subtração entre dois vetores.
  • A notação do vetor nulo é \overrightarrow{0} (isso é relevante para propriedades).
  • Não há dados numéricos; a tarefa é conceitual e também mostrar como calcular na prática.

Passo 2

Primeiro passo didático: lembrar o que é somar vetores (porque subtração será construída a partir disso).
Soma de vetores (intuição curta): somar \overrightarrow{a} e \overrightarrow{b} significa formar um vetor que é o resultado de colocar a cauda de \overrightarrow{b} na cabeça de \overrightarrow{a} e tomar o vetor do ponto inicial da soma ao ponto final. Em notação, a soma é \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.

Passo 3

Definição do oposto de um vetor (necessária para subtração):
O oposto de um vetor \overrightarrow{v} é o vetor que tem a mesma intensidade (módulo) de \overrightarrow{v} e direção oposta. Denotamos por -\overrightarrow{v}. Em outras palavras, se \overrightarrow{v} aponta para uma certa direção, -\overrightarrow{v} aponta exatamente na direção contrária e tem o mesmo comprimento.

Passo 4

Agora a definição formal da subtração de vetores:
A diferença (ou subtração) entre dois vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} é definida como a soma de \overrightarrow{u} com o oposto de \overrightarrow{v}. Ou seja,
\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v}).
Isso resolve a subtração transformando-a numa soma (fácil de visualizar e calcular).

Passo 5

Interpretação geométrica (como desenhar na prova):
  • Coloque as caudas de \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} no mesmo ponto (origem comum).
  • Então \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} é o vetor que vai da ponta (cabeça) de \overrightarrow{v} até a ponta de \overrightarrow{u}.
    Essa é uma maneira muito útil de lembrar e justificar a definição em provas geométricas.

Passo 6

Expressão componente a componente (útil para cálculo sem desenhar):
Se \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n), então
\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1,\;u_2-v_2,\;\dots,\;u_n-v_n).
Explicação: subtrair componentes é equivalente a somar com o negativo componente a componente, porque -\overrightarrow{v}=(-v_1,-v_2,\dots,-v_n).

Passo 7

Exemplo numérico passo a passo (faça assim na prova sem calculadora):
Se \overrightarrow{u}=(3,2) e \overrightarrow{v}=(1,5), então primeiro calculo o oposto:
-\overrightarrow{v}=(-1,-5).
Agora somo com \overrightarrow{u}:
\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})=(3,2)+(-1,-5)=(3-1,\;2-5)=(2,-3).
Pronto — siga esse procedimento com qualquer vetor.

Passo 8

Propriedades úteis (decore e use em provas):
  • \overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}. (subtrair um vetor por ele mesmo dá o vetor nulo)
  • \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=-(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}). (trocar a ordem muda o sinal)
  • c(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=c\overrightarrow{u}-c\overrightarrow{v} para escalar c. (distributividade do escalar)
  • (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}). (maneiras convenientes de reagrupar)

Passo 9

Dica prática final (para não se desesperar na prova): sempre transforme subtração em soma com o oposto e escolha entre desenhar (geométrico) ou operar por componentes (algebraico). Se precisar isolar um vetor num problema, lembre que \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w} implica \overrightarrow{u}=\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.

Resposta

\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})
Se \overrightarrow{u}=(u_1,\dots,u_n) e \overrightarrow{v}=(v_1,\dots,v_n), então
\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1,\dots,u_n-v_n).

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