[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Observação: em nosso curso, vamos denotar o vetor nulo como:
. O prof. Reginaldo, em seu livro, usa a notação
.
Defina a soma de dois vetores
Observação: em nosso curso, vamos denotar o vetor nulo como:
Defina a soma de dois vetores
Passo 1
O enunciado pede que eu defina a soma de dois vetores. Informação dada relevante: o vetor nulo será escrito como
. Não há vetores específicos no enunciado, então a definição deve ser geral (válida em
e em representações geométricas). O que é pedido: uma definição clara e utilizável em prova para calcular e justificar soma de vetores.
Passo 2
Intuição geométrica (idéia para memorizar): pense num vetor como uma seta que indica direção e comprimento. Para somar dois vetores
e
você pode:
- Colocar a cauda de
na ponta (cabeça) de — isso é a “regra do triângulo”. - O vetor soma
vai da cauda de até a ponta de depois do deslocamento.
Essas palavras ajudam a visualizar e usar a soma em provas sem erro.
Passo 3
Regra do paralelogramo (outra forma geométrica): desenhe
e
a partir do mesmo ponto; complete o paralelogramo com esses dois vetores como lados. A diagonal do paralelogramo que parte do mesmo ponto é exatamente
. Essa é a mesma soma que pela regra do triângulo, só uma construção gráfica diferente.
Passo 4
Definição algébrica (componente a componente) — forma que você sempre pode usar em prova:
Se
Se
e
então a soma é
Essa fórmula é o que você aplica quando recebe vetores em coordenadas.
Passo 5
Explicando cada símbolo da fórmula:
-
e são os vetores que somamos. -
é a -ésima componente (coordenada) de . -
é a -ésima componente de . - O resultado
tem as componentes obtidas somando as componentes correspondentes, posição a posição.
Passo 6
Exemplo numérico em
(mostrando passo a passo):
Se e
, então
Se
Passo a passo: some as primeiras componentes
; some as segundas
. O vetor resultante é
. Geometricamente, é o vetor que vai da cauda original até a ponta após colocar
encostado na ponta de
.
Passo 7
Propriedades úteis (fáceis de demonstrar pela definição componente a componente) — decore para a prova:
- Comutatividade:
, porque para cada . - Associatividade:
, porque a soma de números é associativa em cada componente.
Essas propriedades permitem reordenar somas sem medo em contas longas.
Passo 8
Elemento neutro e inverso aditivo:
- O vetor nulo
tem todas as componentes iguais a zero:
Ele satisfaz
para todo
.
- Para cada
existe o inverso tal que .
Esses fatos vêm diretamente da soma componente a componente.
Passo 9
Como proceder na prova (receita rápida):
- Se os vetores estão em coordenadas, aplique a soma componente a componente.
- Se estão dados geometricamente (setas, ângulos), converta para componentes (veja passo 10) ou use a construção geométrica do triângulo/paralelogramo para justificar.
- Use propriedades (comutatividade/associatividade) para simplificar somas com vários vetores.
- Para mostrar que um vetor é soma de outros, explique geometricamente ou mostre a igualdade componente a componente.
Passo 10
Adicionar vetores dados por módulo e direção (conversão):
Se um vetor tem magnitude
e direção
no plano, então em coordenadas:
Se um vetor
Exemplo: se
e
, então
Depois de converter ambos os vetores para coordenadas, some componente a componente.
Resposta
A soma de dois vetores
e
é o vetor
obtido geometricamente pela regra do triângulo (colocar a cauda de um na ponta do outro) ou pela regra do paralelogramo; algébrica e formalmente, se
então