[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Observação: em nosso curso, vamos denotar o vetor nulo como: \overrightarrow{0}. O prof. Reginaldo, em seu livro, usa a notação \overline{0}.
Defina a soma de dois vetores

Passo 1

O enunciado pede que eu defina a soma de dois vetores. Informação dada relevante: o vetor nulo será escrito como \overrightarrow{0}. Não há vetores específicos no enunciado, então a definição deve ser geral (válida em \mathbb{R}^n e em representações geométricas). O que é pedido: uma definição clara e utilizável em prova para calcular e justificar soma de vetores.

Passo 2

Intuição geométrica (idéia para memorizar): pense num vetor como uma seta que indica direção e comprimento. Para somar dois vetores \vec{u} e \vec{v} você pode:
  • Colocar a cauda de \vec{v} na ponta (cabeça) de \vec{u} — isso é a “regra do triângulo”.
  • O vetor soma \vec{u}+\vec{v} vai da cauda de \vec{u} até a ponta de \vec{v} depois do deslocamento.
    Essas palavras ajudam a visualizar e usar a soma em provas sem erro.

Passo 3

Regra do paralelogramo (outra forma geométrica): desenhe \vec{u} e \vec{v} a partir do mesmo ponto; complete o paralelogramo com esses dois vetores como lados. A diagonal do paralelogramo que parte do mesmo ponto é exatamente \vec{u}+\vec{v}. Essa é a mesma soma que pela regra do triângulo, só uma construção gráfica diferente.

Passo 4

Definição algébrica (componente a componente) — forma que você sempre pode usar em prova:
Se
\vec{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n)
e
\vec{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n)
então a soma é
\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;\dots,\;u_n+v_n).
Essa fórmula é o que você aplica quando recebe vetores em coordenadas.

Passo 5

Explicando cada símbolo da fórmula:
  • \vec{u} e \vec{v} são os vetores que somamos.
  • u_i é a i-ésima componente (coordenada) de \vec{u}.
  • v_i é a i-ésima componente de \vec{v}.
  • O resultado \vec{u}+\vec{v} tem as componentes obtidas somando as componentes correspondentes, posição a posição.

Passo 6

Exemplo numérico em \mathbb{R}^2 (mostrando passo a passo):
Se \vec{u}=(2,1) e \vec{v}=(-1,3), então
\vec{u}+\vec{v}=(2+(-1),\;1+3)=(1,\;4).
Passo a passo: some as primeiras componentes 2+(-1)=1; some as segundas 1+3=4. O vetor resultante é (1,4). Geometricamente, é o vetor que vai da cauda original até a ponta após colocar \vec{v} encostado na ponta de \vec{u}.

Passo 7

Propriedades úteis (fáceis de demonstrar pela definição componente a componente) — decore para a prova:
  • Comutatividade: \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}, porque u_i+v_i=v_i+u_i para cada i.
  • Associatividade: (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}), porque a soma de números é associativa em cada componente.
    Essas propriedades permitem reordenar somas sem medo em contas longas.

Passo 8

Elemento neutro e inverso aditivo:
  • O vetor nulo \overrightarrow{0} tem todas as componentes iguais a zero:
\overrightarrow{0}=(0,0,\dots,0).
Ele satisfaz \vec{u}+\overrightarrow{0}=\vec{u} para todo \vec{u}.
  • Para cada \vec{u}=(u_1,\dots,u_n) existe o inverso -\vec{u}=(-u_1,\dots,-u_n) tal que \vec{u}+(-\vec{u})=\overrightarrow{0}.
    Esses fatos vêm diretamente da soma componente a componente.

Passo 9

Como proceder na prova (receita rápida):
  1. Se os vetores estão em coordenadas, aplique a soma componente a componente.
  2. Se estão dados geometricamente (setas, ângulos), converta para componentes (veja passo 10) ou use a construção geométrica do triângulo/paralelogramo para justificar.
  3. Use propriedades (comutatividade/associatividade) para simplificar somas com vários vetores.
  4. Para mostrar que um vetor é soma de outros, explique geometricamente ou mostre a igualdade componente a componente.

Passo 10

Adicionar vetores dados por módulo e direção (conversão):
Se um vetor \vec{a} tem magnitude \|\vec{a}\|=r e direção \theta no plano, então em coordenadas:
\vec{a}=(r\cos\theta,\;r\sin\theta).
Exemplo: se \|\vec{a}\|=5 e \theta=30^\circ, então
\vec{a}=\bigl(5\cos30^\circ,\;5\sin30^\circ\bigr)=\bigl(5\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;5\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)=\bigl(\tfrac{5\sqrt{3}}{2},\; \tfrac{5}{2}\bigr).
Depois de converter ambos os vetores para coordenadas, some componente a componente.

Resposta

A soma de dois vetores \vec{u} e \vec{v} é o vetor \vec{u}+\vec{v} obtido geometricamente pela regra do triângulo (colocar a cauda de um na ponta do outro) ou pela regra do paralelogramo; algébrica e formalmente, se
\vec{u}=(u_1,\dots,u_n)\quad\text{e}\quad\vec{v}=(v_1,\dots,v_n),
então
\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;\dots,\;u_n+v_n).

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