Exercício 1. Os enunciados ou as fórmulas seguintes são verdadeiros ou falsos?
Toda função limitada em
admite um limite em
.
Toda função limitada em
Passo 1
O enunciado pergunta se toda função
limitada (isto é, existe
tal que
para todo
) necessariamente tem limite finito quando
e quando
. O conteúdo envolvido é o conceito de limite de função em infinito.
Passo 2
Definição de limite em infinito: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que
sempre que
. Análogo para
. Para afirmar que toda função limitada admite limite em infinito precisaríamos que esse
existisse para qualquer
limitada.
Passo 3
Para refutar a afirmação basta encontrar um contraexemplo: considere
Essa função satisfaz
para todo
, logo é limitada.
Passo 4
Porém
não se aproxima de nenhum valor fixo quando
, pois oscila entre
e
indefinidamente. Logo
não existe (e o mesmo vale para
).
Resposta
Falso.