Exercício 1. Os enunciados ou as fórmulas seguintes são verdadeiros ou falsos?
Toda função limitada em \mathbb{R} admite um limite em \pm \infty.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} limitada (isto é, existe M>0 tal que \lvert f(x)\rvert\le M para todo x\in\mathbb{R}) necessariamente tem limite finito quando x\to+\infty e quando x\to-\infty. O conteúdo envolvido é o conceito de limite de função em infinito.

Passo 2

Definição de limite em infinito: dizemos que
\lim_{x\to+\infty}f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe X tal que \lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon sempre que x>X. Análogo para x\to-\infty. Para afirmar que toda função limitada admite limite em infinito precisaríamos que esse L existisse para qualquer f limitada.

Passo 3

Para refutar a afirmação basta encontrar um contraexemplo: considere
f(x)=\sin(x).
Essa função satisfaz \lvert\sin(x)\rvert\le1 para todo x, logo é limitada.

Passo 4

Porém \sin(x) não se aproxima de nenhum valor fixo quando x\to+\infty, pois oscila entre -1 e 1 indefinidamente. Logo
\lim_{x\to+\infty}\sin(x)
não existe (e o mesmo vale para x\to-\infty).

Resposta

Falso.

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