|3- A equação horária de um móvel é S=1 / 2 a t^{2}. Sabendo que a =(2,26 \pm 0,09) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} calcule a posição do móvel no instante \mathrm{t}=(3,50 \pm 0,20) \mathrm{s}. Obs: utilize as teorias do desvio padrão máximo e do desvio padrão
Para o problema 3, determine também a velocidade do móvel naquele instante dado. Obs.: utilize a teoria do desvio máximo.

Passo 1

O enunciado dá a lei horária
S = \tfrac12\,a\,t^2
com a = (2,26\pm0,09)\,\mathrm{m/s^2} e t=(3,50\pm0,20)\,\mathrm{s}. Precisamos calcular a posição S no instante dado e sua incerteza usando duas abordagens de propagação de erros: desvio máximo e desvio padrão. Depois, calcular a velocidade instantânea
v = a\,t
e sua incerteza pelo desvio máximo.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor central de S. Como t^2 = (3,50)^2 = 12,25, temos
S_0 = \tfrac12 \times 2,26 \times 12,25 = 13,8425\;\mathrm{m}.

Passo 3

Para o desvio máximo usamos
\Delta S_{\rm max} = \bigl|\tfrac{\partial S}{\partial a}\bigr|\Delta a + \bigl|\tfrac{\partial S}{\partial t}\bigr|\Delta t.
Como
\tfrac{\partial S}{\partial a} = \tfrac12\,t^2 = 6{,}125, \quad \tfrac{\partial S}{\partial t} = a\,t = 2{,}26\times3{,}50 = 7{,}91,
segue
\Delta S_{\rm max} = 6{,}125\times0{,}09 \;+\;7{,}91\times0{,}20 = 0{,}5513 + 1{,}582 = 2{,}1333\;\mathrm{m}.

Passo 4

Para o desvio padrão aplicamos
\Delta S_{\rm std} = \sqrt{\bigl(\tfrac{\partial S}{\partial a}\,\Delta a\bigr)^2 +\bigl(\tfrac{\partial S}{\partial t}\,\Delta t\bigr)^2}\,,
isto é
\Delta S_{\rm std} = \sqrt{(6{,}125\times0{,}09)^2 + (7{,}91\times0{,}20)^2} = \sqrt{0{,}5513^2 + 1{,}582^2} = 1{,}676\;\mathrm{m}.

Passo 5

Assim, a posição fica
S = (13{,}84\pm2{,}13)\,\mathrm{m} \quad\text{(desvio máximo)},á
S = (13{,}84\pm1{,}68)\,\mathrm{m} \quad\text{(desvio padrão)}.ã

Passo 6

A velocidade instantânea é
v_0 = a\,t = 2{,}26\times3{,}50 = 7{,}91\;\mathrm{m/s}.
Pelo desvio máximo,
\Delta v_{\rm max} = \bigl|t\bigr|\Delta a + \bigl|a\bigr|\Delta t = 3{,}50\times0{,}09 + 2{,}26\times0{,}20 = 0{,}315 + 0{,}452 = 0{,}767\;\mathrm{m/s}.

Resposta

Posição:
S = (13,84 \pm 2,13)\,\mathrm{m} pelo desvio máximo
S = (13,84 \pm 1,68)\,\mathrm{m} pelo desvio padrão
Velocidade:
v = (7,91 \pm 0,77)\,\mathrm{m/s} (desvio máximo)

Exercícios relacionados