Exercício 1. Esboce as curvas paramétricas no intervalo indicado.
x(t)=12 cos t, y(t)=2 sen t, 0<t<pi;

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
x(t)=tfrac12cos t, y(t)=2sin t,
com 0<t<pi, e pede um esboço dessa curva.
Conteúdo: curvas paramétricas e passagem para a forma cartesiana (elipse).

Passo 2

Eliminamos o parâmetro t usando cos^2 t + sin^2 t = 1.
Como cos t = tfrac2x1 e sin t = tfracy2, temos
l(tfrac2x1r)^2 + l(tfracy2r)^2 = 1 Longrightarrow 4x^2 + y^24 = 1 Long<=ftrightarrow x^2tfrac14 + y^24 = 1
Portanto é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal a=tfrac12 e vertical b=2.

Passo 3

Identificamos pontos notáveis e orientação:
– Em tto0^+:
x(0)=tfrac12, y(0)=0,
início em l(tfrac12,0r).
– Em t=tfracpi2:
x(tfracpi2)=0, y(tfracpi2)=2,
ponto mais alto (0,2).
– Em ttopi^-:
x(pi)=-tfrac12, y(pi)=0,
fim em l(-tfrac12,0r).
Como t cresce de 0 a pi, a curva percorre a parte superior da elipse da direita para a esquerda.

Passo 4

Esboce a semielipse superior de
x^2tfrac14 + y^24 = 1,
passando pelos pontos l(tfrac12,0r)to(0,2)tol(-tfrac12,0r).

Resposta

A curva é a semielipse superior de equação
x^2tfrac14 + y^24 = 1,
percorrida de l(tfrac12,0r) para l(-tfrac12,0r) conforme t vai de 0 a pi.

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