Questão 2: Um tanque contém inicialmente 100 galões de água fresca. Joga-se, então, água contendo
libra de sal por galão a uma taxa de 2 galões por minuto e permite-se que a mistura saia do tanque à mesma taxa. Denote por
a quantidade de sal em libras no tanque no instante
. Apresente o problema de valor inicial (P.V.I.) que representa a situação descrita nesta questão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tanque que começa com 100 galões de água fresquinha, ou seja, sem sal. Depois, entra água com sal na taxa de 2 galões por minuto, e essa água contém metade de uma libra de sal por galão. Ao mesmo tempo, a mistura que está no tanque sai na mesma velocidade de 2 galões por minuto. A gente quer descobrir como a quantidade de sal no tanque, representada por
, muda com o tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente equações diferenciais, que ajudam a modelar como algo muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está entrando e saindo do tanque. A água que entra tem sal, e a mistura que sai também tem sal. A quantidade de sal que entra por minuto é dada pela concentração de sal na água que está entrando multiplicada pela taxa de entrada.
A concentração de sal que entra é
libra por galão, e a taxa de entrada é 2 galões por minuto. Então, a quantidade de sal entrando por minuto é:
Passo 3
Agora, vamos ver a quantidade de sal que está saindo do tanque. A concentração de sal na saída depende de quanta sal já está no tanque e do volume total de água no tanque. Como o volume de água permanece constante (esquerda entrando igual saindo), temos sempre 100 galões no tanque.
A concentração de sal na mistura é
libra por galão. Multiplicando isso pela taxa de saída, que é 2 galões por minuto, temos:
Passo 4
Agora, para encontrar como
muda com o tempo, usamos a equação que diz que a taxa de variação de
é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Não podemos esquecer da condição inicial! No começo, quando
, o tanque só tinha água fresca, ou seja, sem sal. Isso significa que:
Resposta
O problema de valor inicial que representa a situação é: