Exercício 1. Esboce as curvas paramétricas no intervalo indicado.
;
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a curva paramétrica
e o objetivo é esboçar seu gráfico no plano
. O conteúdo aqui é passagem de equação paramétrica para equação cartesiana e análise de intervalo.
Passo 2
Para eliminar o parâmetro, observe que de
segue
. Substituindo em
dá
Logo a curva é o ramo da parábola
porém restrito ao intervalo de
correspondente a
. Como
, para
temos
e para
temos
. Portanto
Passo 3
Analisando o comportamento nos extremos de
:
- Quando
, . - Quando
, .
Isto mostra que o arco começa “lá longe” no primeiro quadrante (próximo de) e vai até .
Passo 4
Para ter ideia da forma e da orientação, calculemos alguns pontos:
-
. -
.
Conferimos que esses pontos estão sobree que, à medida que cresce, e decrescem seguindo a parábola.
Passo 5
Esboce o ramo da parábola
para
. Indique uma seta ao longo da curva apontando do ponto com
grande (correspondendo a
próximo de
) em direção a
(correspondendo a
).
Resposta
O gráfico é o ramo da parábola
para
, indo de
até
, com a seta indicando o aumento de
(do infinito para
em
).