Exercício 1. Esboce as curvas paramétricas no intervalo indicado.
x(t)=1 / t, y(t)=1 / t^2, 0<t<3 ;;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva paramétrica
x(t)=1t, y(t)=1t^2, 0<t<3,
e o objetivo é esboçar seu gráfico no plano xy. O conteúdo aqui é passagem de equação paramétrica para equação cartesiana e análise de intervalo.

Passo 2

Para eliminar o parâmetro, observe que de x(t)=1/t segue t=1/x. Substituindo em y
y=1t^2=l(1tr)^2=x^2
Logo a curva é o ramo da parábola
y = x^2,
porém restrito ao intervalo de x correspondente a 0<t<3. Como x=1/t, para tto0^+ temos xto+infty e para tto3 temos xto13. Portanto
xinl(tfrac13,+inftyr)

Passo 3

Analisando o comportamento nos extremos de t:
  • Quando tto0^+, l(x,yr)to(+infty,+infty).
  • Quando tto3^-, l(x,yr)tol(tfrac13,tfrac19r).
    Isto mostra que o arco começa “lá longe” no primeiro quadrante (próximo de (+infty,+infty)) e vai até l(tfrac13,tfrac19r).

Passo 4

Para ter ideia da forma e da orientação, calculemos alguns pontos:
  • t=1 Rightarrow (x,y)=(1,1).
  • t=2 Rightarrow l(x,yr)=l(tfrac12,tfrac14r).
    Conferimos que esses pontos estão sobre y=x^2 e que, à medida que t cresce, x e y decrescem seguindo a parábola.

Passo 5

Esboce o ramo da parábola y=x^2 para x> tfrac13. Indique uma seta ao longo da curva apontando do ponto com x grande (correspondendo a t próximo de 0) em direção a l(tfrac13,tfrac19r) (correspondendo a t=3).

Resposta

O gráfico é o ramo da parábola y=x^2 para x>tfrac13, indo de (+infty,+infty) até l(tfrac13,tfrac19r), com a seta indicando o aumento de t (do infinito para tfrac13 em x).

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