Questão 3: Encontre a solução geral (na forma implícita) da seguinte equação exata:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata juntos! A gente tem a seguinte equação:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é realmente exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a igualdade. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a equação é exata. Para isso, vamos identificar as funções que multiplicam
e
:
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a equação é de fato exata. Agora podemos seguir para encontrar a solução geral.
Passo 3
Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar uma função
tal que:
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração foi feita em relação a
.
Passo 4
Agora, para determinar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Simplificando, temos:
Integrando novamente em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Juntando tudo, a solução geral da equação é:
Onde
é uma constante qualquer.