Questão 3: Encontre a solução geral (na forma implícita) da seguinte equação exata:
(3 x^2-2 x y) d x+(6 y^2-x^2) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata juntos! A gente tem a seguinte equação:
(3 x^2-2 x y) , dx + (6 y^2-x^2) , dy = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é realmente exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a igualdade. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a equação é exata. Para isso, vamos identificar as funções que multiplicam dx e dy :
M(x, y) = 3x^2 - 2xy N(x, y) = 6y^2 - x^2
Uma equação diferencial da forma M , dx + N , dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x . Vamos calcular:
partial Mpartial y = -2x partial Npartial x = -2x
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é de fato exata. Agora podemos seguir para encontrar a solução geral.

Passo 3

Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N
Vamos começar integrando M em relação a x :
F(x, y) = integral M , dx = integral (3x^2 - 2xy) , dx = x^3 - x^2y + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y , já que a integração foi feita em relação a x .

Passo 4

Agora, para determinar g(y) , vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar a N :
partial Fpartial y = -x^2 + g'(y) = 6y^2 - x^2
Simplificando, temos:
g'(y) = 6y^2
Integrando novamente em relação a y :
g(y) = 2y^3 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Juntando tudo, a solução geral da equação é:
x^3 - x^2y + 2y^3 = C
Onde C é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados