Questão. (2,5 pts)
Calcule a derivada da função \ln \left(\cos \left(1-x^{2}\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\bigl(\cos(1 - x^2)\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia, aplicada duas vezes: primeiro para a função logarítmica e depois para a função cosseno com argumento 1 - x^2.

Passo 2

Seja
g(x)=\cos(1 - x^2),
então f(x)=\ln\bigl(g(x)\bigr). Pela regra da derivada do logaritmo, temos
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 3

Agora precisamos de g'(x). Como
g(x)=\cos\bigl(h(x)\bigr)
com
h(x)=1 - x^2,
aplicamos a regra da cadeia na derivada de \cos:
\frac{d}{dx}\cos\bigl(h(x)\bigr)=-\sin\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x).

Passo 4

Calculamos h'(x). Como h(x)=1 - x^2,
h'(x)=-2x.
Substituindo em g'(x):
g'(x)=-\sin\bigl(1 - x^2\bigr)\,(-2x)=2x\,\sin\bigl(1 - x^2\bigr).

Passo 5

Finalmente, voltamos à expressão de f'(x):
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)} =\frac{2x\,\sin\bigl(1 - x^2\bigr)}{\cos\bigl(1 - x^2\bigr)} =2x\,\tan\bigl(1 - x^2\bigr).

Resposta

f'(x)=2x\,\tan\bigl(1 - x^2\bigr).

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