Isso transforma a função valor absoluto numa função por partes, formada por duas retas.]
Passo 4
Escrever explicitamente as duas retas que compõem o gráfico.
Das duas linhas da peça por partes temos:
Para x\ge 2: f(x)=x-2. É uma reta de inclinação +1 e intercepto vertical -2 quando estendida (mas aqui vale só a partir de x=2).
Para x<2: f(x)=2-x. É uma reta de inclinação -1 (ou, escrita como y=-x+2), válida à esquerda de x=2.
Passo 5
Encontrar o vértice e pontos-chave (isso ajuda muito no esboço).
Vértice (ponto onde as duas peças se encontram): resolver x-2=0 dá x=2. Logo o vértice é o ponto
(2,0),
porque f(2)=|2-2|=0.
Intercepto em y (quando x=0): f(0)=|0-2|=2. Então o ponto (0,2) está no gráfico.
Para checar simetria: a função é simétrica em relação à vertical x=2 (é a "distância ao ponto 2"). Por exemplo f(3)=1 e f(1)=1.
Passo 6
Domínio, imagem (contraste para entender o formato do gráfico).
Domínio: todos os reais, isto é \{x\in\mathbb{R}\}.
Imagem (valores possíveis de f): como valor absoluto é sempre não negativo e atinge 0 em x=2, temos
\mathrm{Im}(f)=[0,\infty).
Passo 7
Propriedades de continuidade e derivabilidade (úteis para a prova).
A função é contínua em todo \mathbb{R} (não tem buracos).
Não é diferenciável em x=2 porque a inclinação à esquerda é -1 e à direita é +1 (salto no coeficiente angular). Em provas costuma ser importante dizer isso: canto em (2,0).
Passo 8
Como esboçar (passo a passo para fazer o desenho rápido e correto na prova).
Marque o ponto vértice (2,0).
A partir de (2,0) desenhe para a direita uma reta com inclinação +1 (linha subindo 1 para cada 1 à direita). Essa reta tem equação y=x-2.
A partir de (2,0) desenhe para a esquerda uma reta com inclinação -1 (linha subindo 1 para cada 1 à esquerda). Essa reta tem equação y=2-x.
Marque também (0,2) para orientar o desenho e, se quiser, mais um ponto por ramo, por exemplo (3,1) e (1,1).
Verifique que o gráfico é um “V” com abertura para cima, vértice em (2,0), contínuo, sem quebras.
Passo 9
Interpretação via transformação do gráfico de |x| (usando a dica do enunciado).
O gráfico de |x| é um “V” com vértice em (0,0).
Substituir x por x-2 desloca todo o gráfico de |x| duas unidades para a direita.
Portanto, o gráfico de |x-2| é exatamente o gráfico de |x| transladado 2 unidades para a direita: vértice deslocado de (0,0) para (2,0).
Resposta
Gráfico em forma de “V” com vértice em (2,0); para x\ge 2 a curva é a reta y=x-2 e para x<2 é a reta y=2-x. Domínio \mathbb{R}, imagem [0,\infty).