Exercício 5. Esboce o gráfico da função
f(x)=|x-2|
Hint: Como o gráfico de |x| é transformado ao substituir x por x-2 ?

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
f(x)=|x-2|.
Informações dadas e observações úteis (tiradas do enunciado):
  • A função é a valor absoluto de (x-2).
  • Há a dica: comparar com o gráfico de |x| e ver o que acontece ao substituir x por x-2.
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de forma concreta (a regra que vou usar).
  • Por definição, para qualquer número real t\), \[|t|=\begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Explicação em miúdos: |t|\] devolve a distância de \(t até 0 na reta; é sempre não negativo. Exemplos rápidos: |3|=3, |-4|=4.]

Passo 3

Aplicando a definição ao caso t=x-2.
Usando a regra do passo anterior com t=x-2,
|x-2|=\begin{cases} x-2, & \text{se } x-2\ge 0\\ (\text{ou seja } x\ge 2),\\[4pt] -(x-2)=2-x, & \text{se } x-2<0\\ (\text{ou seja } x<2). \end{cases}
Isso transforma a função valor absoluto numa função por partes, formada por duas retas.]

Passo 4

Escrever explicitamente as duas retas que compõem o gráfico.
Das duas linhas da peça por partes temos:
  • Para x\ge 2: f(x)=x-2. É uma reta de inclinação +1 e intercepto vertical -2 quando estendida (mas aqui vale só a partir de x=2).
  • Para x<2: f(x)=2-x. É uma reta de inclinação -1 (ou, escrita como y=-x+2), válida à esquerda de x=2.

Passo 5

Encontrar o vértice e pontos-chave (isso ajuda muito no esboço).
  • Vértice (ponto onde as duas peças se encontram): resolver x-2=0 x=2. Logo o vértice é o ponto
(2,0),
porque f(2)=|2-2|=0.
  • Intercepto em y (quando x=0): f(0)=|0-2|=2. Então o ponto (0,2) está no gráfico.
  • Para checar simetria: a função é simétrica em relação à vertical x=2 (é a "distância ao ponto 2"). Por exemplo f(3)=1 e f(1)=1.

Passo 6

Domínio, imagem (contraste para entender o formato do gráfico).
  • Domínio: todos os reais, isto é \{x\in\mathbb{R}\}.
  • Imagem (valores possíveis de f): como valor absoluto é sempre não negativo e atinge 0 em x=2, temos
\mathrm{Im}(f)=[0,\infty).

Passo 7

Propriedades de continuidade e derivabilidade (úteis para a prova).
  • A função é contínua em todo \mathbb{R} (não tem buracos).
  • Não é diferenciável em x=2 porque a inclinação à esquerda é -1 e à direita é +1 (salto no coeficiente angular). Em provas costuma ser importante dizer isso: canto em (2,0).

Passo 8

Como esboçar (passo a passo para fazer o desenho rápido e correto na prova).
  1. Marque o ponto vértice (2,0).
  2. A partir de (2,0) desenhe para a direita uma reta com inclinação +1 (linha subindo 1 para cada 1 à direita). Essa reta tem equação y=x-2.
  3. A partir de (2,0) desenhe para a esquerda uma reta com inclinação -1 (linha subindo 1 para cada 1 à esquerda). Essa reta tem equação y=2-x.
  4. Marque também (0,2) para orientar o desenho e, se quiser, mais um ponto por ramo, por exemplo (3,1) e (1,1).
  5. Verifique que o gráfico é um “V” com abertura para cima, vértice em (2,0), contínuo, sem quebras.

Passo 9

Interpretação via transformação do gráfico de |x| (usando a dica do enunciado).
  • O gráfico de |x| é um “V” com vértice em (0,0).
  • Substituir x por x-2 desloca todo o gráfico de |x| duas unidades para a direita.
  • Portanto, o gráfico de |x-2| é exatamente o gráfico de |x| transladado 2 unidades para a direita: vértice deslocado de (0,0) para (2,0).

Resposta

Gráfico em forma de “V” com vértice em (2,0); para x\ge 2 a curva é a reta y=x-2 e para x<2 é a reta y=2-x. Domínio \mathbb{R}, imagem [0,\infty).

Exercícios relacionados