Exercício 7. Resolva
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o(s) valor(es) de
que satisfazem a equação
Informações dadas:
- A equação exponencial é
. - A pergunta é: qual é o valor real de
que torna essa igualdade verdadeira?
Passo 2
Entendendo o que significa a equação:
quer dizer que a potência de base
e expoente
resulta em
. Uma forma direta de “inverter” uma potência é usar o logaritmo: se
com
e
, então por definição
Aplicando isso aqui, podemos escrever imediatamente
Isso já é uma forma exata e correta da solução — é a resposta escrita em termos de logaritmo na base
.
Passo 3
Agora vou transformar essa forma
para uma expressão prática que se calcula facilmente com tabelas ou calculadora: a fórmula de mudança de base. A ideia: qualquer logaritmo pode ser expresso usando logaritmo natural (
) ou logaritmo decimal (
). A fórmula é
onde
é o logaritmo natural (base
). Essa fórmula vem de tomar
nos dois lados da igualdade
e usar
. Aplicando para nosso caso:
Passo 4
Explico por que a propriedade
vale (uma mini-aula): a função
é definida como o logaritmo natural; uma das propriedades fundamentais dos logaritmos é que o logaritmo do produto vira soma e o logaritmo de uma potência traz o expoente para frente. Formalmente, se
então
. Pela regra dos logaritmos,
Essa regra permite isolar o expoente quando aplicamos
a uma equação exponencial, exatamente o que fizemos para obter
.
Passo 5
Antes de calcular numericamente, podemos já fazer uma verificação por desigualdades simples para entender onde
está:
logo
. Ou seja, a solução está entre
e
— já dá uma intuição boa.
Passo 6
Cálculo numérico (aproximação): usar valores conhecidos de logaritmos (por exemplo calculadora ou tabela)
Dividindo:
Arredondando para quatro casas decimais (suficiente na maioria das provas):
Passo 7
Resumo prático para a prova (o que escrever rapidamente):
- passo 1: aplicar logaritmo em ambos os lados;
- passo 2: usar
; - passo 3: isolar
e apresentar ; - se pedirem aproximação, calcular a divisão numérica e dar
.