Exercício 7. Resolva
3^{x}=10

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o(s) valor(es) de x que satisfazem a equação
3^{x}=10.
Informações dadas:
  • A equação exponencial é \,3^{x}=10\,.
  • A pergunta é: qual é o valor real de x que torna essa igualdade verdadeira?

Passo 2

Entendendo o que significa a equação: \,3^{x}=10\, quer dizer que a potência de base 3 e expoente x resulta em 10. Uma forma direta de “inverter” uma potência é usar o logaritmo: se \,a^{y}=b com a>0 e a\neq1, então por definição
y=\log_{a}b.
Aplicando isso aqui, podemos escrever imediatamente
x=\log_{3}10.
Isso já é uma forma exata e correta da solução — é a resposta escrita em termos de logaritmo na base 3.

Passo 3

Agora vou transformar essa forma \log_{3}10 para uma expressão prática que se calcula facilmente com tabelas ou calculadora: a fórmula de mudança de base. A ideia: qualquer logaritmo pode ser expresso usando logaritmo natural ( \ln) ou logaritmo decimal ( \log_{10}). A fórmula é
\log_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural (base e). Essa fórmula vem de tomar \ln nos dois lados da igualdade a^{\log_a b}=b e usar \ln(a^{c})=c\ln a. Aplicando para nosso caso:
x=\log_{3}10=\frac{\ln 10}{\ln 3}.

Passo 4

Explico por que a propriedade \ln(a^{c})=c\ln a vale (uma mini-aula): a função \ln é definida como o logaritmo natural; uma das propriedades fundamentais dos logaritmos é que o logaritmo do produto vira soma e o logaritmo de uma potência traz o expoente para frente. Formalmente, se y=a^{c} então \ln y=\ln(a^{c}). Pela regra dos logaritmos,
\ln(a^{c})=c\ln a.
Essa regra permite isolar o expoente quando aplicamos \ln a uma equação exponencial, exatamente o que fizemos para obter \dfrac{\ln 10}{\ln 3}.

Passo 5

Antes de calcular numericamente, podemos já fazer uma verificação por desigualdades simples para entender onde x está:
3^{2}=9<10<27=3^{3},
logo 2<x<3. Ou seja, a solução está entre 2 e 3 — já dá uma intuição boa.

Passo 6

Cálculo numérico (aproximação): usar valores conhecidos de logaritmos (por exemplo calculadora ou tabela)
\ln 10\approx 2,302585093\quad\text{e}\quad \ln 3\approx 1,098612289.
Dividindo:
x=\frac{\ln 10}{\ln 3}\approx\frac{2,302585093}{1,098612289}\approx 2,095903274\ldots
Arredondando para quatro casas decimais (suficiente na maioria das provas):
x\approx 2,0959.

Passo 7

Resumo prático para a prova (o que escrever rapidamente):
  • passo 1: aplicar logaritmo em ambos os lados;
  • passo 2: usar \ln(3^{x})=x\ln 3;
  • passo 3: isolar x e apresentar x=\dfrac{\ln 10}{\ln 3};
  • se pedirem aproximação, calcular a divisão numérica e dar x\approx 2,0959.

Resposta

\displaystyle x=\frac{\ln 10}{\ln 3}\approx 2,0959

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