Exercício 6. Resolva a equação
2^{x}=32

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a equação \,2^{x}=32\,, ou seja, encontrar o(s) valor(es) de \,x\, que satisfazem essa igualdade.
Informações dadas: a base da exponencial é \,2\, e o lado direito é o número \,32.

Passo 2

Entender o que significa um expoente: \,2^{x}\, significa multiplicar o número \,2\, por ele mesmo \,x\, vezes quando \,x\, é inteiro positivo. Por exemplo, \,2^{3}=2\cdot2\cdot2=8\,. A propriedade importante que vamos usar é: se duas potências têm a mesma base positiva diferente de 1, então
a^{u}=a^{v}\quad\Rightarrow\quad u=v.
Isso vale para a>0 e a\neq1. Aqui nossa base é \,2\,, que satisfaz essas condições.

Passo 3

Representar \,32\, como potência de \,2. Vamos fatorar \,32\, em fatores 2:
32=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2.
Contando os fatores, são cinco dois’s multiplicados, então
32=2^{5}.

Passo 4

Agora reescrevemos a equação usando \,32=2^{5}:
2^{x}=2^{5}.
Como explicado no Passo 2, se as bases são iguais e diferentes de 1, os expoentes devem ser iguais. Portanto chegamos à igualdade entre expoentes:
x=5.

Passo 5

Verificação rápida (substituição): substituir \,x=5\, na equação original dá
2^{5}=32,
o que coincide com o lado direito. Logo a solução está correta.

Passo 6

Método alternativo com logaritmos (útil quando não é tão óbvio escrever o número como potência da base): tomar log de ambos os lados — por exemplo o log natural — e usar \log(a^{b})=b\log a. Assim
\ln(2^{x})=\ln(32)\quad\Rightarrow\quad x\ln 2=\ln 32.
Como \ln 32=\ln(2^{5})=5\ln 2, vem
x\ln 2=5\ln 2\quad\Rightarrow\quad x=5.
Esse método funciona sempre que se precisa isolar o expoente.

Resposta

x=5

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