Exercício 7. Utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial, faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado nos pede um esboço do gráfico da função
O conteúdo envolvido é estudo de domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade e sinal de
, usando derivadas.
Passo 2
Determinamos o domínio e as singularidades de
. O denominador anula-se em
, isto é,
Logo, o domínio é
Passo 3
Achamos zeros de
e intercepto em
. O numerador fatorado é
portanto as raízes de
são
O intercepto em
obtém-se em
:
Passo 4
Para as assíntotas, temos:
Vertical: .
Oblíqua: dividimos
Vertical:
Oblíqua: dividimos
Assim, a assíntota oblíqua é
Passo 5
Calculamos
para estudar monotonicidade. Usando a regra do quociente,
O discriminante de
é negativo, logo
sempre. Como o denominador
, temos
isto é,
é estritamente crescente em cada ramo.
Passo 6
Analisamos o sinal de
. Os pontos críticos de mudança de sinal são
,
e
. Fazendo um rápido teste de sinal, conclui-se:
- em
e
.
- em
e
.
-
-
Passo 7
Verificamos os comportamentos nas bordas:
- e
.
- Para ,
aproxima-se de
.
-
- Para
Passo 8
Esboço qualitativo:
. Desenhamos a reta vertical
(assíntota).
. Desenhamos a reta oblíqua
.
. Marcamos zeros em
e
, e intercepto em
.
. Como
é crescente em cada ramo e muda de
para
ao atravessar
, o ramo
sobe de
(quando
) até
(quando
), cruzando em
.
. O ramo
sobe de
(quando
) até
(quando
), cruzando em
.
Resposta
O gráfico de
tem:
(a) domínio ;
(b) zeros em e
;
(c) intercepto em ;
(d) assíntotas e
;
(e) função estritamente crescente em cada ramo;
(f) sinal conforme os intervalos ,
,
,
.
(a) domínio
(b) zeros em
(c) intercepto em
(d) assíntotas
(e) função estritamente crescente em cada ramo;
(f) sinal conforme os intervalos