Exercício 7. Utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial, faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{2 x-1}

Passo 1

O enunciado nos pede um esboço do gráfico da função
f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{2x-1}
O conteúdo envolvido é estudo de domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade e sinal de f, usando derivadas.

Passo 2

Determinamos o domínio e as singularidades de f. O denominador anula-se em 2x-1=0, isto é,
x=\frac12.
Logo, o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\Bigl\{\tfrac12\Bigr\}.

Passo 3

Achamos zeros de f e intercepto em y. O numerador fatorado é
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1),
portanto as raízes de f são
x=-2\quad\text{e}\quad x=1.
O intercepto em y obtém-se em x=0:
f(0)=\frac{0^{2}+0-2}{2\cdot0-1}=2.

Passo 4

Para as assíntotas, temos:
Vertical: x=\tfrac12.
Oblíqua: dividimos
\frac{x^{2}+x-2}{2x-1} = \frac12\,x+\frac34 + \frac{-5/4}{2x-1}.
Assim, a assíntota oblíqua é
y=\frac12\,x+\frac34.

Passo 5

Calculamos f'(x) para estudar monotonicidade. Usando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{(2x+1)(2x-1)-2(x^{2}+x-2)}{(2x-1)^{2}} =\frac{2x^{2}-2x+3}{(2x-1)^{2}}.
O discriminante de 2x^{2}-2x+3 é negativo, logo 2x^{2}-2x+3>0 sempre. Como o denominador (2x-1)^{2}>0, temos
f'(x)>0\quad\forall x\in\mathcal{D},
isto é, f é estritamente crescente em cada ramo.

Passo 6

Analisamos o sinal de f. Os pontos críticos de mudança de sinal são x=-2, x=\tfrac{1}{2} e x=1. Fazendo um rápido teste de sinal, conclui-se:
- f<0 em (- \infty,-2) e \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr).
- f>0 em (-2,\tfrac{1}{2}) e (1,+\infty).

Passo 7

Verificamos os comportamentos nas bordas:
- \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}^-}f(x)=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}^+}f(x)=-\infty.
- Para x\to\pm\infty, f(x) aproxima-se de y=\tfrac{1}{2}\,x+\tfrac{3}{4}.

Passo 8

Esboço qualitativo:
1. Desenhamos a reta vertical x=\tfrac12 (assíntota).
2. Desenhamos a reta oblíqua y=\tfrac12x+\tfrac34.
3. Marcamos zeros em (-2,0) e (1,0), e intercepto em (0,2).
4. Como f é crescente em cada ramo e muda de -\infty para +\infty ao atravessar x=\tfrac12, o ramo x<\tfrac12 sobe de -\infty (quando x\to-\infty) até +\infty (quando x\to\tfrac12^-), cruzando em (-2,0).
5. O ramo x>\tfrac12 sobe de -\infty (quando x\to\tfrac12^+) até \infty (quando x\to+\infty), cruzando em (1,0).

Resposta

O gráfico de f(x)=\dfrac{x^{2}+x-2}{2x-1} tem:
(a) domínio \mathbb{R}\setminus\{\tfrac12\};
(b) zeros em x=-2 e x=1;
(c) intercepto em (0,2);
(d) assíntotas x=\tfrac12 e y=\tfrac12x+\tfrac34;
(e) função estritamente crescente em cada ramo;
(f) sinal conforme os intervalos (-\infty,-2), (-2,\tfrac12), (\tfrac12,1), (1,\infty).

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