Exercício 7. Utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial, faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=8 x^{1 / 3}+x^{4 / 3}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=8\,x^{1/3}+x^{4/3},
usando técnicas do Cálculo Diferencial. Vamos precisar de:
  1. domínio e continuidade,
  2. derivada primeira para monotonicidade e pontos críticos,
  3. derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão,
  4. valores de f em pontos-chave,
  5. comportamento em x\to\pm\infty.

Passo 2

O domínio de f é todo \mathbb{R} porque raízes cúbicas aceitam números negativos. A função é contínua em \mathbb{R} mas não derivável em x=0 (a inclinação tende a infinito). Calculamos a derivada em x\neq0:
f'(x)=8\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}+\frac{4}{3}x^{1/3} =\frac{4}{3}x^{-2/3}(2+x).

Passo 3

Para achar os pontos críticos resolvemos f'(x)=0. Como x^{-2/3}\neq0 para x\neq0, resta
2+x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2.
Em x=0 a derivada não existe, então temos dois “eventos”: x=-2 e x=0.
Estudo do sinal de f'(x):
  • Se x<-2, então 2+x<0 e x^{-2/3}>0, logo f'(x)<0 (decrescente).
  • Se -2<x<0, então 2+x>0 e x^{-2/3}>0, logo f'(x)>0 (crescente).
  • Se x>0, idem, f'(x)>0 (crescente).
    Conclusão: decresce em (-\infty,-2) e cresce em (-2,0)\cup(0,\infty). Assim x=-2 é mínimo local.

Passo 4

Derivada segunda para concavidade (para x\neq0):
f''(x)=\frac{4}{9}x^{-5/3}(x-4).
Logo f''(x)=0 em x=4.
  • Para x<4, x-4<0 e x^{-5/3}>0, então f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Para x>4, f''(x)>0 (concavidade para cima).
    Portanto há inflexão em x=4.

Passo 5

Calculamos alguns valores-chave:
f(-2)=8(-2)^{1/3}+(-2)^{4/3} =-8\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{2}=-6\sqrt[3]{2}\approx-7{,}56,
f(0)=0, \qquad f(4)=8\cdot4^{1/3}+4^{4/3} =8\sqrt[3]{4}+4\sqrt[3]{4}=12\sqrt[3]{4}\approx19{,}05.
Em x\to+\infty, f(x)\sim x^{4/3}\to+\infty.
Em x\to-\infty, f(x)\sim x^{4/3}\to+\infty (pois a parte dominante é x^{4/3}, positiva).

Passo 6

Resumo para o esboço:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Decresce até (-2,-6\sqrt[3]{2}), mínimo local em x=-2.
  • Cresce de -2 a 0 e de 0 em diante (em x=0 há cusp, inclinação vertical).
  • Concavidade para baixo até x=4, depois para cima (inflexão em x=4).
  • Passa por (0,0) e sobe rapidamente para +\infty.

Resposta

No esboço, marque os pontos (-2,-6\sqrt[3]{2}), (0,0), (4,12\sqrt[3]{4}); desenhe a curva decrescente em (-\infty,-2), crescente com cusp em 0, concavidade trocando de baixo para cima em 4, e crescimento para +\infty.

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