Exercício 7. Utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial, faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
usando técnicas do Cálculo Diferencial. Vamos precisar de:
- domínio e continuidade,
- derivada primeira para monotonicidade e pontos críticos,
- derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão,
- valores de
em pontos-chave, - comportamento em
.
Passo 2
O domínio de
é todo
porque raízes cúbicas aceitam números negativos. A função é contínua em
mas não derivável em
(a inclinação tende a infinito). Calculamos a derivada em
:
Passo 3
Para achar os pontos críticos resolvemos
. Como
para
, resta
Em
a derivada não existe, então temos dois “eventos”:
e
.
Estudo do sinal de :
Estudo do sinal de
- Se
, então e , logo (decrescente). - Se
, então e , logo (crescente). - Se
, idem, (crescente).
Conclusão: decresce eme cresce em . Assim é mínimo local.
Passo 4
Derivada segunda para concavidade (para
):
Logo
em
.
- Para
, e , então (concavidade para baixo). - Para
, (concavidade para cima).
Portanto há inflexão em.
Passo 5
Calculamos alguns valores-chave:
Em
,
.
Em ,
(pois a parte dominante é
, positiva).
Em
Passo 6
Resumo para o esboço:
- Domínio:
. - Decresce até
, mínimo local em . - Cresce de
a e de em diante (em há cusp, inclinação vertical). - Concavidade para baixo até
, depois para cima (inflexão em ). - Passa por
e sobe rapidamente para .
Resposta
No esboço, marque os pontos
,
,
; desenhe a curva decrescente em
, crescente com cusp em
, concavidade trocando de baixo para cima em
, e crescimento para
.