Exercício 5 Esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)= \begin{cases}x^{2}-4 & \text { se } x<3 \\\\ 2 x-1 & \text { se } x \geq 3\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}-4, & \text{se }x<3,\\\\ 2x-1, & \text{se }x\ge3. \end{cases}
O conteúdo envolvido é análise de função polinomial (parábola) e função afim (reta), além de verificar a conexão dos dois ramos em x=3.

Passo 2

Analisamos primeiro o ramo parabólico f_{1}(x)=x^{2}-4 com domínio x<3.
  1. É uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de x^{2} positivo).
  2. Vértice em (0,-4), pois o mínimo de x^{2}-4 ocorre em x=0.
  3. Zeros em
x^{2}-4=0\implies x=\pm2,
isto é, pontos (-2,0) e (2,0).
4. Quando x\to3^{-},
f_{1}(x)\to 3^{2}-4=5,
mas esse ponto fica com círculo aberto em (3,5) porque não inclui x=3.

Passo 3

Agora o ramo afim f_{2}(x)=2x-1 com domínio x\ge3.
  1. É uma reta de coeficiente angular 2 e coeficiente linear -1.
  2. The intercept with the y-axis would be -1, but our domain starts at x=3.
  3. Em x=3,
f_{2}(3)=2\cdot3-1=5,
com círculo fechado em (3,5) pois inclui x=3.
4. Para x>3, a reta cresce linearmente a partir desse ponto.

Passo 4

Verificamos a conexão em x=3:
\lim_{x\to3^{-}}f(x)=5\quad\text{(parábola, ponto aberto)}á
f(3)=5\quad\text{(reta, ponto fechado)}
Como os valores coincidem em 5, o gráfico é contínuo em x=3, mas com marcação de ponto aberto para o ramo da parábola e ponto fechado para a reta.

Passo 5

Para esboçar:
– Desenhe os eixos x e y.
– Trace a parte esquerda da parábola y=x^{2}-4 para x<3, marcando vértice em (0,-4), zeros em (-2,0) e (2,0), e um círculo aberto em (3,5).
– A partir de (3,5) (círculo fechado), desenhe a reta de inclinação 2 passando por (3,5). Você pode marcar mais pontos, por exemplo (4,7), (5,9), para orientar o traçado.

Resposta

O gráfico de f é formado por:
– A parábola y=x^{2}-4 para x<3, com vértice em (0,-4) e círculo aberto em (3,5).
– A reta y=2x-1 para x\ge3, com círculo fechado em (3,5) e crescimento linear de inclinação 2.

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