Exercício 5 Esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=\cos (4 x)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\cos(4x).
Aqui o conteúdo é função trigonométrica periódica. Para desenhar o gráfico precisamos determinar a amplitude, o período e os pontos-chave (máximos, mínimos e zeros) num período, e depois replicar esse padrão.

Passo 2

A amplitude de \cos é 1, então
-1 \le f(x)\le 1.
O período T de \cos(bx) é dado por
T = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.

Passo 3

Vamos marcar os pontos mais importantes num período, por exemplo em 0\le x\le \pi/2:
- Em x=0:
f(0)=\cos(0)=1
- Em x=\tfrac{T}{4}=\tfrac{\pi}{8}:
f\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)=\cos\bigl(4\cdot\tfrac{\pi}{8}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0
- Em x=\tfrac{T}{2}=\tfrac{\pi}{4}:
f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\cos(\pi)=-1
- Em x=\tfrac{3T}{4}=\tfrac{3\pi}{8}:
f\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0
- Em x=T=\tfrac{\pi}{2}:
f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos(2\pi)=1

Passo 4

Traçamos uma curva que passa por esses cinco pontos no intervalo [0,\pi/2]: começa em (0,1), decresce até cruzar o eixo x em (\tfrac{\pi}{8},0), atinge mínimo (\tfrac{\pi}{4},-1), volta a zero em (\tfrac{3\pi}{8},0) e retorna a (\tfrac{\pi}{2},1). Essa forma é exatamente a de um cosseno “comprimido” horizontalmente.

Passo 5

Como a função é periódica de período \tfrac{\pi}{2}, replicamos esse esqueleto de onda para a direita e para a esquerda, deslocando em múltiplos de \tfrac{\pi}{2}. Assim obtemos o gráfico completo, com máximos iguais a 1 em
x = k\,\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z},
e mínimos iguais a -1 em
x = \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

O gráfico de \displaystyle f(x)=\cos(4x) é uma onda de amplitude 1 e período \tfrac{\pi}{2}, com zeros em
x=\frac{\pi}{8}+k\,\frac{\pi}{4},\quad k\in\mathbb{Z},
máximos em f=1 quando x=k\frac{\pi}{2} e mínimos em f=-1 quando x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}.

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