Exercício 5 Esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=-4 \operatorname{sen}(x+1)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x) = -4\,\operatorname{sen}(x+1).
O conteúdo aqui é transformações da função seno: vamos identificar amplitude, período, reflexão no eixo x e deslocamento horizontal para depois marcar os pontos-chave e ligar tudo num esboço.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as características básicas da transformação:
– Amplitude: como o coeficiente multiplicativo é -4, a amplitude é
|{-4}| = 4.
– Período: a função básica \operatorname{sen}(u) tem período 2\pi. Aqui u = x+1 não altera o fator de escala, logo o período continua sendo 2\pi.
– Reflexão: o sinal “ -)” na frente de 4 reflete a curva da senoide em relação ao eixo x.

Passo 3

Agora, o argumento interno é x+1. Isso corresponde a um deslocamento horizontal de 1 unidade para a esquerda. Em outras palavras, todo ponto que estivesse em x na seno básica fica em x - 1 = 0, ou seja, começa em x=-1.

Passo 4

Vamos marcar os pontos principais de um período, tomando como referência quando o ângulo interno u = x+1 vale
0,\;\frac{\pi}{2},\;\pi,\;\frac{3\pi}{2},\;2\pi.
Para cada valor de u:
u=0: \operatorname{sen}(0)=0 f(x)=0. Como u=x+1, isso acontece em x=-1.
u=\tfrac{\pi}{2}: \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=1 f(x)=-4. Acontece em x=-1+\tfrac{\pi}{2}.
u=\pi: \operatorname{sen}(\pi)=0 f(x)=0. Acontece em x=-1+\pi.
u=\tfrac{3\pi}{2}: \operatorname{sen}(\tfrac{3\pi}{2})=-1 f(x)=4. Acontece em x=-1+\tfrac{3\pi}{2}.
u=2\pi: \operatorname{sen}(2\pi)=0 f(x)=0. Acontece em x=-1+2\pi.

Passo 5

Com esses pontos anotados, traçamos uma curva suave que:
  1. Passa em (-1,0), desce até \bigl(-1+\tfrac{\pi}{2},-4\bigr),
  2. Sobe passando em (-1+\pi,0) e alcança \bigl(-1+\tfrac{3\pi}{2},4\bigr),
  3. Volta a zero em (-1+2\pi,0).
    Repita esse padrão para a esquerda e para a direita. O resultado é uma senoide de amplitude 4, invertida em relação à seno padrão, deslocada 1 unidade para a esquerda e com período 2\pi.

Resposta

O gráfico de f(x)=-4\,\operatorname{sen}(x+1) é uma senoide de amplitude 4, refletida no eixo x, com período 2\pi e deslocada 1 unidade para a esquerda, cujos pontos principais num período são: (-1,0), \bigl(-1+\tfrac{\pi}{2},-4\bigr), (-1+\pi,0), \bigl(-1+\tfrac{3\pi}{2},4\bigr), (-1+2\pi,0).

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